Краткие теоретические сведения. Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки

Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения.

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа (циклическая частота колебаний), определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (гармоническое уравнение) имеет вид:

.

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где A — амплитуда колебаний маятника, — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Период малых собственных колебаний математического маятника длины неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения равен

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

Исходя из теории колебаний математического маятника, измеряя период его колебаний и длину подвеса, можно определить ускорение свободного падения.

Порядок выполнения работы

1. Установить математический маятник на шкиве стойки.

2. В случае, если маятник представляет собой стержень с грузиком на одном из его концов, для устранения паразитных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втулку-фиксатор, прижимающую стержень к шкиву.

3. Установить на измерительной системе ИСМ-2 тумблеры: «0,1мс/мс/0,01мс» в положение «мс» (измерение времени с точностью до 1 мс), «1/2» в положение «1», «однокр/цикл» в положение «однокр». Обнуление счетчика и подготовка его к измерению времени производится кнопкой «готов».

4. Измерить период колебаний. Для этого в каждом положении маятника 3 раза измерить время 5 колебаний – t₅, найти среднее значение времени и затем определить период колебаний. Для измерения времени 5 колебаний нужно:

– отклонить маятник от вертикали на небольшой угол;

– отпуская маятник, одновременно нажать кнопку «ручн»;

– после истечения 5 колебаний вновь нажать кнопку «ручн». Счетчик покажет время 5 колебаний в миллисекундах;

– для проведения повторного опыта счетчик обнулить кнопкой «готов».

5. Выполнить измерения для маятников трёх различных масс и длин подвеса. Получить 5 результатов. Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты измерений ускорения свободного падения.

6. Произвести статистическую обработку полученных результатов, определив среднее значение < g >, абсолютную погрешность Dg (по формуле Стьюдента) и относительную погрешность e.

Результат представить в виде:

g = (< g > ± D g) (ед. изм.), при a = 0.95, e = %

7. Сравнить полученные значения с табличным.