Частотный критерий Найквиста

Чтобы построить АФХ разомкнутой системы, можно использовать преобразование z=e^Ts. Положив , получим

(12.3)

Подставив (12.3) в выражение для передаточной функции разомкнутой системы W(z), найдем частотную передаточную функцию разомкнутой системы . Определив модуль и фазу или вещественную и мнимую части этой функции, можно построить АФХ разомкнутой системы.

Следует учитывать, что функция (12.3) периодическая. Поэтому при построении АФХ достаточно ограничиться диапазоном частот .

Построим АФХ разомкнутого дальномера из примера 1 раздела 11.2. Передаточная функция разомкнутой системы найдена в виде .

В результате замены (12.3) получим

(12.4)

АФХ разомкнутой системы изображена на рис.12.2а. Так как при w=0 она имеет разрыв, обусловленный наличием s в знаменателе , дополняем ее четвертью окружности бесконечно большого радиуса. Для исследования устойчивости замкнутой системы можно использовать формулировку критерия Найквиста, соответствующую данному случаю (см. раздел 7.5), а именно: замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0). Следовательно, как видно из рис. 12.2а, замкнутая система устойчива при kТ< 2. В соответствии со второй формулировкой сумма переходов АФХ через критический отрезок (‑¥; ‑1) должна быть равна нулю. При kТ< 2 переходов нет и замкнутая система устойчива. При kТ>2 АФХ заканчивается на критическом отрезке, т.е. имеет место –1/2 перехода.

При использования преобразования z=e^jwT частотная передаточная функция W(e^jwT) является трансцендентной (т.е. не алгебраической функцией частоты, а, в данном случае, тригонометрической). Поэтому для систем выше второго порядка построение АФХ существенно затрудняется. Кроме того, практически исключается возможность построения асимптотических ЛЧХ.

Преобразование (12.3) можно приближенно заменить алгебраической функцией для значений аргумента тангенса wT/2<1, т.е. для частот в диапазоне 0£w<2/T. В этом случае можно принять, что tg(wT/2)» wT/2, тогда формула (12.3) примет вид

(12.5)

По аналогии с (12.5) используют так называемое билинейное преобразование, заменяя w новой переменной l:

(12.6)

Переменная λ называется абсолютной псевдочастотой, сокращённо-псевдочастотой. Сравнив (12.6) с (12.3), получим:

(12.7)

Из (12.7) видно, что благодаря сомножителю 2/T псевдочастота λ имеет размерность угловой частоты. Кроме того, при изменении ω от 0 до π/T она изменяется от нуля до бесконечности. Наконец, при ω<2/T псевдочастота практически совпадает с реальной частотой ω.

При исследовании устойчивости и качества импульсных систем можно оперировать с jλ точно так же, как это делалось с jω или с s при исследовании непрерывных систем.

В качестве примера используем подстановку (12.6) в передаточной функции . В результате получим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

(12.8)

Амплитудную частотную характеристику определим как модуль вектора W(jλ):

(12.9)

Логарифмическую амплитудную характеристику запишем в виде

, (12.10)

где (12.11)

. (12.12)

Как видно из выражений (12.11), (12.12), ЛАХ L₁(λ) совпадает с ЛАХ интегрирующего звена (4.24), а ЛАХ L₂(λ) – с ЛАХ дифференцирующего звена первого порядка (4.14). Таким образом, график L₁(λ) есть прямая с отрицательным наклоном 20 дб/дек, пересекающая ось абсцисс при λ=k. График L₂(λ) состоит из двух асимптот с точкой сопряжения на частоте λ=2/T. Горизонтальная асимптота до частоты λ =2/T совпадает с осью абсцисс, а вторая асимптота имеет положительный наклон 20 дб/дек.

График асимптотической ЛАХ L(λ) совпадает с графиком L₁(λ) до сопрягающей частоты λ=2/T, где, получив излом на +20 дб/дек, переходит в горизонтальную прямую (рис. 12.2 б).

Для определения фазовой частотной характеристики преобразуем функцию (12.8) к виду:

,

где

Графики L(λ) и φ(λ) показаны на (рис. 12.2 б). Если k<2/T, то горизонтальная асимптота проходит ниже оси абсцисс. При этом критический отрезок, соответствующий значениям A(λ)≥1, находится левее частоты среза, то есть левее точки λ=k, и ЛФХ в этом интервале частот не пересекает линии -180⁰. Следовательно, замкнутая система устойчива. Если же k>2/T, то вторая асимптота проходит выше оси абсцисс и критическим отрезком будет вся эта ось. При фаза φ(λ)=-180⁰, а L( )>0 (A(λ)>1). Следовательно, имеет место -1/2 перехода и замкнутая система неустойчива.

Нетрудно убедиться, что АФХ разомкнутой системы

будет точно такой же, как на рис. 12.2 а, только она закончится на оси абсцисс при λ= .