![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Исследование устойчивости по корням характеристического уравненияВ разделе 7.1 было показано, что непрерывная система устойчива, если все корни sv(v=1,2,…,n) ее характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (рис.12.1 a). При исследовании импульсных систем вместо s используется новая переменная z=еTs . В теории функций комплексного переменного преобразование, в процессе которого одна переменная заменяется некоторой функцией от новой переменной, а одна область комплексной плоскости отображается в другую, называется конформным преобразованием. Конформное преобразование z=eTs отображает левую полуплоскость плоскости s в область, ограниченную окружностью единичного радиуса на плоскости z (рис. 12.1 б). При этом мнимая ось плоскости s отображается в саму окружность. Действительно, пусть s1,2 = При этом Таким образом, импульсная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса, т.е. если Окружность единичного радиуса представляет собой границу устойчивости для импульсной системы. Система находится на апериодической границе устойчивости, если в ее характеристическом уравнении a0zn+a1zn-1+…+an=0 (12.1) имеется корень zv=1, а остальные корни располагаются внутри круга единичного радиуса (рис.12.1 в). В этом случае переходная составляющая решения разностного уравнения (10.16) с течением времени стремится к значению Cv(zv)i = Cv. Если в характеристическом уравнении имеется пара комплексных сопряженных корней, расположенных на окружности единичного радиуса (рис.12.1 г), т.е. таких, что Типичной для импульсных систем является так называемая граница устойчивости третьего типа, которой соответствует наличие в характеристическом уравнении корня zv= -1 (рис. 12.1 д). В этом случае в системе с течением времени устанавливаются незатухающие периодические колебания с периодом 2Т, так как составляющая решения (10.16) Для оценки устойчивости и качества импульсных систем используются передаточные функции разомкнутой системы W(z) и передаточные функции замкнутой системы Ф(z) или Фх(z). В соответствии с выражениями (11.23) или (11.24) характеристическое уравнение замкнутой системы (12.1) может быть получено следующим образом: 1+W(z)=0; Þ B(z)+C(z)=0, (12.2) где B(z) и C(z) – полиномы числителя и знаменателя передаточной функции W(z).
|