Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Вынужденные колебания возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся (вынуждающей) силы

, (6.29)

где - циклическая частота вынуждающей силы, а F_m - её амплитуда.

Наряду с F_в на систему действуют квазиупругая сила F_y и сила сопротивления F_c. Уравнение движения в данном случае имеет вид:

, ,

. (6.30)

Решением этого дифференциального уравнения вынужденных колебаний является

, (6.31) где А_в и φ_в – соответственно амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний , которые в отличие от собственных незатухающих и

Таблица1.2

Множитель Приставка Множитель Приставка

наимено- обозна- наимено- обозна-

___________ вание чение вание чение

10¹⁸ экса Э 10^-1 деци д

10¹⁵ пэта П 10^-2 санти с

10¹² тэра Т 10^-3 милли м

10⁹ гига Г 10^-6 микро мк

10⁶ мега М 10^-9 нано н

10³ кило к 10^-12 пико п

10² гекто г 10^-15 фемто ф

10^-18 атто а_

1.4. Некоторые рекомендации по правильному

написанию единиц измерения.

Обозначения единиц ставят после числовых значений и помещают в строку с ним, не перенося на следующую. Между числовым значением и обозначением единицы оставляют пробел, за исключением знаков (…^о, …’, …” и т.п.), поднятых над строкой. Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, следует отделять точками как знаками умножения (иногда допускается разделять пробелами, если это не приводит к недоразумению). При применении косой черты в обозначении единиц необходимо помещать их в строку как в числителе, так и в знаменателе. Произведения обозначений единиц при этом следует заключать в скобки. Примеры вышеперечисленных правил, а также некоторых других приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

Правильно Неправильно Правильно Неправильно

10 Н 10Н Дж·кг^-1 ·К^-1 Дж / кг/ К^-1

100 % 100% (1000 ± 1) м 1000 ± 1 м

36 ^оС, но 180^о 36^о С, 36^оС, но180 ^о 60,0 с ± 0,1 с 60,0 ± 0,1 с

м·Н мН 50 км / ч 50 км /час

Дж / (моль·К) Дж / моль·К 10 м / с 10 м / сек

1.5. Математические операции с

физическими величинами.

Физические величины, принадлежащие к одной категории (однородные величины) можно складывать и вычитать. К примеру, m = m₁+ m₂ = 5 кг + 3 кг = 8 кг (но 5 км + 3 с – бессмыслица!). В то же время в отношении умножения и деления физических величин есть разные точки зрения. Одни (Чертов А.Г.) считают, что можно их перемножать и делить. Другие (Сена Л.А.) утверждают, что этого делать нельзя. Мы придерживаемся первого тезиса, т.е. над физическими величинами можно производить все операции, известные из высшей математики, за некоторыми исключениями (скажем, делить на вектор нельзя).

Кроме того, следует помнить, что аргументы функций ℓn х, е^х, sin x, cos x, tg x, ctg x всегда безразмерны.

Еще одна особенность проявляется при дифференцировании и интегрировании физических величин: в отличие от математики в физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений функции и аргумента, а не как предел этого отношения. Это вызвано тем, что при бесконечном уменьшении ∆t (например, в выражении ℓim ∆ / ∆t = ) ошибка в определении ∆ будет

∆t→0

увеличиваться, причем тем больше, чем меньше ∆t.

Аналогично обстоит дело и с интегрированием (например,

N 2

А = ℓim Σ = ∫ . Поэтому запись ∆t→0 и ∆ r →0 следует

∆r→0 i=1 1

понимать в том смысле, что ∆t и ∆ r стремятся к очень малой, но конечной величине.

Поскольку изучение физики требует применения математического аппарата, который либо ещё не изучался в курсе высшей математики, либо уже забыт (опыт преподавания курса физики позволяет заключить, что студенты 1-го курса не имеют достаточного навыка в дифференцировании, интегрировании, использовании векторного исчисления и т. п.), поэтому мы сочли возможным изложить некоторые элементы математического анализа и векторной алгебры.