Применение теории функций комплексного переменнго к изучению плоских потоков идеальной жид-кости.

Рассматриваемый ниже метод относится к числу наиболее эффективных способов анализа плоских потоков. Вернемся к полученным выше (см. 6.15) соотношениям Коши-Римана. Они показыва­ют, что комплексная комбинация этих двух функций (т.е. и ) от действительных переменных x и y, т.е. , является аналитической функцией комплексного переменного . Другими словами, эти условия показывают, что существует функция комплексной переменной либо просто W, вещественная и мнимая части которой и соответственно, т.е.

(либо ).

Функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности. В гидромеханике функция называется комплексным потенциалом. Следует отметить, что теория аналитических функций является одной из наиболее разработанных ветвей классической математики. Обстоятельное изучение этого материала далеко выходит за рамки курса. Ограниченный объем данного пособия позволяет привести лишь весьма краткие сведения, необходимые для уяснения самой общей идеи метода. При необходимости подробное и обстоятельное изложение его можно найти в книге: Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

Интересующиеся приложениями теории функций комплексного переменного для решения технических задач, в частности, задач гидромеханики, могут обратиться к книге: Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

Как показывается в теории функций комплексного переменного, производная от комплексного потенциала по комплексному же переменному имеет вид

(6.38)

Это выражение называется комплексной скоростью. Модуль этой величины дает саму скорость, т.е.

(6.39)

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 6.6. Пусть течение задано комплексным потенциалом , где a - действительное число. Имея в виду, что и , можно записать:

Разделяя действительную и мнимую части, получаем:

и .

Этот поток рассмотрен выше в примере 6.2. Обратим лишь внимание на то, что с помощью комплексного потенциала результат достигается более коротким путем.

Найдем комплексную скорость. Имеем:

;

; ;

;

,

т.е. частицы движутся по гиперболическим линиям тока со скоростью .