Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.

1. Что представляют собой пространства и ?

2. Что такое ортогональная системы функций и ряды Фурье в евклидовом пространстве? Докажите, что наилучшее среднеквадратическое приближение функции в евклидовом пространстве представляет собой частичную сумму ряда Фурье. Запишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Что такое замкнутая система функций?

3. Как выглядит тригонометрический ряд Фурье? Каковы условия поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье? Как ведут себя приближения в окрестности точки разрыва функции (явление Гиббса)?

4. Ортогональные многочлены Лежандра. Ряд Фурье по системе многочленов Лежандра.

5. Опишите общую схему метода наименьших квадратов.

6. Как строятся полиномиальная и линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов?

7. Как производится поиск наилучших приближений по методу наименьших квадратов в некоторых двухпараметрических семействах нелинейных функций: , , , , , .

8. Формулировка задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами.

9. Решение задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами. Дискретное преобразование Фурье. Оценка погрешности тригонометрической интерполяции.

10. Наилучшее равномерное приближение.