Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется предположение о выборке.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется основной (нулевой) и обозначается Н_0.

По отношению основной гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей, которую обозначают Н_1.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н_0.

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой. В других случаях гипотеза называется сложной.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, то решение неизбежно сопровождается вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой – то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза может оказаться отвергнутой, в то время как она справедлива. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а её вероятность – уровнем значимости α

Наоборот, в какой – то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза принимается, в то время как на самом деле она ошибочна. Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки второго рода β. Вероятность 1- β называют мощностью критерия.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно увидеть в таблице

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (К), который является функцией от результатов наблюдения.

Статистический критерий – это правило, по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н₀.

Выбор критерия может быть осуществлён на основании различных принципов. Чаще всего пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить наиболее мощный критерий.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия К_набл.

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений и критическую область, определяемые на заданном уровне значимости α по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называют критическими точками К_кр.

Областью допустимых значений называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают левостороннюю и правостороннюю критические области. Если конкурирующая гипотеза – правосторонняя, т.е а > a₀ то и критическая область – правосторонняя.

рис. 10

Если конкурирующая гипотеза – левосторонняя, т.е а < a₀ то и критическая область – левосторонняя.

рис. 11

Если конкурирующая гипотеза – двусторонняя, т.е , то и критическая область двусторонняя.

рис. 12

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

- если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей

- если наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу нельзя отклонить.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называют статистической гипотезой?
2. Что называют проверкой статистических гипотез
3. Какую гипотезу называют основной (нулевой)?
4. Какую гипотезу называют конкурирующей?
5. Какая гипотеза называется простой?
6. Какая гипотеза называется сложной?

7. Что называют ошибкой 1-го рода?

8. Что называют уровнем значимости α?

9. Что называют ошибкой 2-го рода?

10. Что называют мощностью критерия?

1. Назовите принцип отношения правдоподобия.
2. Что называют Критической областью?
3. Как осуществляют проверку статистических гипотез?

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Тырсин, А. Н. Математика.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/ А. Н. Тырсин.- Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2007.- 235 c.

Дополнительная:

1. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Учебник /Под ред. В. И. Ермакова.- М.: Инфра-М, 2008.- 656 с.- Гриф МО
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Текст]: Учебное пособие.- 2-е изд., испр.- М.: Инфра-М, 2008.- 574 с.- Гриф УМО