Метод множителей Лагранжа. Пусть требуется решить ЗНП следующего вида

Пусть требуется решить ЗНП следующего вида

где и (или) непрерывны и дифференцируемы.

Для решения задачи вводят так называемую функцию Лагранжа L(x, l):

.

Метод функции Лагранжа сводит ЗНП на условный экстремум к задаче нахождения локального экстремума.

Алгоритм метода:

1) Составляют функцию Лагранжа.

2) Находят стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений:

3) Из найденных стационарных точек выбирают те, в которых функция L(x, l) имеет локальные экстремумы. Функция L(x, l) имеет в стационарной точке локальный максимум, если в ней дифференциал второго порядка меньшего нуля (d²L<0), и локальный минимум, если дифференциал второго порядка больше нуля (d²L>0).

Множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если F(x₁,x₂…x_n) – доход, соответствующий плану x=(x₁,x₂…x_n), – затраты некоторых ресурсов, тогда множители будут показывать как изменится максимальный доход, если количество ресурса i-го вида увеличится на единицу.

Задача.Найти условный минимум функции при ограничениях

Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений:

Решая систему, получаем .

Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа. Поскольку все частные производные второго порядка, в записи которых присутствуют , равны нулю, то формула дифференциала второго порядка для функции Лагранжа примет вид:

.

Так как , , , , , , то

.

Следовательно, точка является точкой минимума функции . Найдем значение функции в данной точке:

.

Ответ: , .