КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Верные цифры и запись приближенных чисел.
Способы записи приближенных чисел, рассмотренные выше, не дают полного представления об их погрешности.
Если необходимо записать большую таблицу приближенных чисел, то эти способы становятся неудобными.
В вычислительной практике часто прибегают к различным приемам, позволяющим только по записи только самого числа судить о его погрешности.
Пусть приближенное число а* записано в системе счисления с основанием q:
(3)
Выберем некоторый числовой параметр 
. Цифру ак числа будем называть верной, если для абсолютной погрешности этого числа имеет место неравенство
(4)
В противном случае цифру акназывают сомнительной. Очевидно, что если цифра ак верная, то и все предшествующие ей цифры тоже верные.
ПРАВИЛО записи приближенных чисел в той или иной системе счисления состоит в следующем:
Записывают приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы все записанные цифры были верными.
Например, запись p= 3.14 означает, что абсолютная погрешность 
, n=0, k=3, n-k+1=-2.
Практически используют только два значения параметра: 1 и 1/2 . В соответствии с этим для десятичной системы счисления имеем 2 определения понятия верной цифры:
Определение 1: W=1/2. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 5-ти единиц разряда, следующего за этой цифрой.
Определение 2: W=1. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 1 разряда, соответствующего этой цифре.
Таким образом, если мы знаем цифру приближенного числа, то сразу же можем оценить последнюю верную величину его абсолютной погрешности.
Установим теперь аналогичную связь между количеством верных цифр приближенного числа и его относительной погрешностью.
Пусть теперь относительная погрешность задана, тогда k является целочисленным решением неравенства
, (5)
то данное число а* с первой значащей цифрой а1 имеет по крайней мере k верных значащих цифр. Действительно:
, что означает, что цифра аk верная.
Пример: а*=2.14865, 
, W=1/2. Здесь, а =2, q=10. Имеем:
0.000023<0.5/3 10k-1 , 0,0000138 10k <=1
Это неравенство выполняется при k=4. Следовательно, а* имеет по крайней мере 4 верных знака.
§ 3. Неустранимая погрешность значения функций
для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
Пусть 
- непрерывная дифференцируемая функция независимых переменных 
. Если значения аргумента даны неточно, а приближенно
- имеем неустранимую погрешность, то вместо yиз (3) мы получим некоторую величину y*,
(6).
Требуется найти абсолютную погрешность 
, и относительную погрешность 
, характеризующие неустранимую погрешность функции (6).
Эту задачу в каждом конкретном случае можно совершенно строго решить при помощи методов математического анализа, исследуя область изменения y при 
.
Однако, при более или менее сплошной функции f применение точных методов математического анализа приводит к сложным вычислениям. Поэтому целесообразнее иметь в своем распоряжении приемы, позволяющие решить поставленную задачу более элементарно, хотя м.б. более грубо. Для их применения наложим некоторые дополнительные условия на функцию fи погрешности ее аргументов.
Будем предполагать:
1. Частные производные fизменяются достаточно медленно.
2. Относительные погрешности 
исходных данных достаточно малы.
По формуле конечных приращений получим:
где 
- значения производных 
- взятых в некоторой точке отрезка 
.Используя предположение 1), заменим на 
.
Получим 
Отсюда 
(7)
Разделим (7) на y* и учитывая 1) и 2), получим приближенную формулу для относительной погрешности функции:
(8)
Если применить формулы (7) и (8) к случаю функции с одной переменной, то мы получим для оценки ее абсолютной и относительной погрешностей следующие формулы: 
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 269; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |