Метод итераций (задача о неподвижной точке).

Дано уравнение

f(x)=0, (1)

заменим его равносильным уравнением

х=j(х) (2)

итерации образуются по правилу

х_i+1 = j ( х_i ), i=0,1,2,…, (3)

причем задается начальное приближение х₀.

Если полученная последовательность сходящаяся, т. е. существует предел , то, переходя к пределу в равенстве (3) и предполагая функцию j(х) непрерывной, найдем:

(5)

Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.

Геометрическая интерпретация метода состоит в следующем:

построим на плоскости графики функций y=x и y=j(х). Каждый действительный корень уравнения (2) является абсциссой точки пересечения кривой y=j(х) и y=x. Возможен вид ломаной – “лестница'' (рис.3) и “спираль” (рис.4) - производная
j’(х)>0 и j’(х)<0(соответственно).

Рис.3

Рис. 4

Теорема (о сходимости метода итераций). Пусть функция j(х) определена и дифференцируема на отрезке. [a, b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

|j’(х)| £ q < 1 (6)

при a<x<b, то

1) Процесс итераций х_i+1=j(х_i), i=0,1,2,…, (7)

сходится независимо от начального значения х₀Î[a, b].

2) Предельное значение

является единственным корнем уравнения

х=j(х) (8) на отрезке [a, b].

Доказательство:…………………………………………………………………………..

Замечание: В условиях теоремы метод итераций сходится при любом выборе начального значения х₀ из [a, b]. Метод является самоисправляющимся, т. е. Отдельная ошибка в вычислениях не повлияет наконечный результат, так как ошибочное значение можно рассматривать как новое начальное значение х₀.

Оценка погрешности приближений:

Для того, чтобы получит решение уравнения (1) методом итераций с заданной погрешностью e, т.е. |x - х_n | £ e