Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Метод Зейделя (модификация метода итераций).




Читайте также:
  1. Amp; Методичні вказівки
  2. Amp; Методичні вказівки
  3. Amp; Методичні вказівки
  4. Amp; Методичні вказівки
  5. Amp; Методичні вказівки
  6. Amp; Методичні вказівки
  7. Amp; Методичні вказівки
  8. B. Искусственная вентиляция легких. Методики проведения искусственной вентиляции легких
  9. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  10. FDDI. Архитектура сети, метод доступа, стек протоколов.

 

При решении системы линейных алгебраических уравнений вида (1) методом итераций значение вычисляется по значениям с предыдущей итерации , , ... , путем подстановки в правую часть системы (4).

Можно ожидать, что приближения будут быстрее сходиться к решению системы, если сразу же после вычисления , при вычислении последующих использовать , а не в правой части (4).

Процедура вычисления через , ,..., , , называется методом Зейделя и записывается в развернутой форме в виде:

(9)

Запишем метод Зейделя в векторной форме, для этого представим матрицу a в виде суммы двух треугольных матриц L и U, где

,

Тогда систему (9) можно записать в виде матричного равенства:

(10)

Матрица (E-L) - неособенная, т.е. имеет обратную (E-L)-1, следовательно, можно выразить х(k+1) из (10)

Из (10) получаем, что

Обозначим

тогда

(11)

Следовательно, метод Зейделя для системы (1) эквивалентен методу простой итерации x = ax + b для системы x = Px + Q, где матрица P и вектор Q определены выше.

Теперь для сходимости (11) достаточно, чтобы ||P||1 < 1 или ||P||2 < 1.

Используя собственные значения матрицы P можно дать необходимое и достаточное условие сходимости процесса итераций для системы (11):|l(P)| < 1

Здесь в качестве матрицы a выступает матрица P , а в качестве вектора b - вектор Q .

Если для одной и той же системы методы итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее.

Достаточное условие сходимости процесса Зейделя.

ТЕОРЕМА: Если для линейной системы

х = aх + b (2)

выполнено условие , где , то процесс (9) для системы (2) сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения.

Доказательство: ………………………………………………………………………………

Оценим погрешности приближений по методу Зейделя.

Пусть и - две последовательные итерации процесса Зейделя.

Применяя к этим итерациям преобразования, получим:

Выполним аналогичные (как для МПИ) преобразования для разности между (k+m)- м и k -м членами последовательных приближений по Зейделю при некотором mÎN :

Рассматривая итоговое равенство при , переходя к пределу получим утверждения теоремы:

, где

Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:

или

Тогда или

,


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 13; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты