Неявная схема

.

получаем неявную двухслойную схему:

(4)

которая аппроксимирует уравнение (1) с погрешностью о(t/h²).

Здесь r=t/h/².

Схема (4) аппроксимирует уравнение (1) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (4) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получают из краевых условий

(5)

Схема (4)-(5) неявная, поэтому значения находят как решение системы линейных уравнений (4).

Для решения системы (4) можно применять метод прогонки, система (4) обладает трехдиагональной матрицей. Таким образом, решив систему разностных уравнений, найдем значения функции U на временном слое n+1, если известно решение на временном слое n.

Итак, алгоритм численного решения задачи имеет следующий вид.

На нулевом временном слое (n = 0) решение известно из начального условия

На каждом следующем слое искомая функция определяется как решение системы (4)-(5).

Замечательным свойством неявной схемы (4) является ее устойчивость при любых значениях параметра r=th//²>0.