![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ЛЕКЦИЯ № 14Основные понятия теории разностных схем Пусть на некотором отрезке D поставлена некоторая дифференциальная краевая задача. L - заданный дифференциальный оператор, f - заданная правая часть. Будем предполагать, что решение u задачи (1) на отрезке
На отрезке D конечное число точек, Заменяем u(x) à таблицей Предполагается, что сетка Например, можно положить h=1/N , где N - некоторое натуральное число, и принять за сетку Искомая сеточная функция Назовем ее разностной краевой задачей (разностной схемой). Определение 1. Будем говорить, что решение Если, сверх того, выполнено неравенство где С>0, k>o– некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка hk или что разностная схема имеет k -й порядок точности. В этом определении Предположим, что разностная задача (2) имеет единственное решение Если бы при подстановке в левую часть (2) вместо
Это означало бы, что решение Однако, как правило, систему (2) не удается выбрать так, чтобы При подстановке в уравнение (2) возникает некоторая невязка:
Если эта невязка
Определение 2.
Будем говорить, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) на решении u, если Если, сверх того, имеет место неравенство где С>0, k>o– некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место аппроксимация порядка hk или порядка к относительно величины h.
В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (3) которому удовлетворяет Следовательно, если решение Определение 3.
Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют такие постоянные h0 и d0, что при любом h<h0 и любой сеточной функции eрÎFh, такой, что
полученная из (2) добавление к правой части возмущения eh имеет место и имеет только одно решение zh, причем справедлива оценка где С1 – некоторая постоянная, не зависящая от h. Последнее неравенство означает, что малое возмущение eh правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно h малое возмущение (zh-uh)решения uh .
Определение 4.
Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором Lhустойчивой, если при любой правой части fhÎFh уравнение
где С – некоторая постоянная, не зависящая от h. Можно показать, в случае линейности разностного оператора Lh определения устойчивости 3 и 4 равносильны.
Теорема 1 (теорема Лакса о сходимости).
Пусть разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) на решении u с порядком hk и устойчива. Тогда решение разностной задачи
где С – некоторая постоянная, не зависящая от h. Эта теорема позволяет свести вопрос о важнейшей с практической точки зрения проблеме исследования сходимостик вопросу исследования аппроксимации и устойчивости. Доказательство: Положим
|