КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
О нормальной системе МНК при полиномиальной аппроксимации.
Возьмем в качестве базисных функций для обобщенного многочлена (3) степенные функции:
В таком случае он превращается в обычный многочлен степени m канонического вида:
Если 
то 
называется тригонометрическим полиномом порядка m.
Основная система 
может состоять также из показательных функций еjx и других функций.
Посмотрим, что представляет собой система (4) для вычисления коэффициентов многочлена Qm(x), если ставится задача аппроксимировать с его помощью некоторую функцию f(x) , заданную в (n+1) узле x0, x1, …, xn.
Будем использовать метод наименьших квадратов.
Согласно этому методу за меру отклонения полинома 
от данной функции f(x) на множестве точек x0, x1,…, xn, принимают величину 
Очевидно, что F есть функция коэффициентов a0, a1,…, am, . эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы величина F была наименьшей.
Полученный полином Qmназывают аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома – квадратичной аппроксимацией (аппроксимированием) функции.
Для решения этой задачи воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от
,
где yi=f(xi) по всем переменным a0, a1,…, am .
Приравнивая эти частные производные к нулю, получим систему (m+1) уравнений с (m+1) неизвестными a0, a1,…, am.
Обозначим
Преобразуя систему (m+1) уравнений и используя эти обозначения, получим:
Систему уравнений относительно a0, a1,…, am , S0=n+1.
Можно доказать, что если среди точек x0, x1,…, xn нет совпадающих и m£ n, то определитель системы ¹0 и, следовательно, эта система имеет единственное решение. Полином с такими коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным отклонением F.
Если m = n , то Qm = Lm (x) , причем F=0.
Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование. Для решения системы уравнений можно применять итерационный процесс, в частности метод Зейделя для нормальных систем, так как матрица из коэффициентов при неизвестных a0, a1,…, amположительно определенная.
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |