Средние величины. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Виды средних величин: 1) арифметическая;

2) гармоническая;

3) геометрическая;

4) квадратическая;

5) кубическая.

Все эти средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m):

,

где – среднее значение исследуемого явления;

– показатель степени средней;

– текущее значение осредняемого признака;

– число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при – средняя гармоническая ;

при – средняя геометрическая ;

при – средняя арифметическая ;

при – средняя квадратическая ;

при – средняя кубическая .

При использовании одних и тех же данных, чем больше m, тем больше значение средней величины:

– правило мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления.

Средняя арифметическая.

а) Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц (наиболее распространенная).

Пример 8: Используя пример 1, рассчитаем средний размер дивидендов на одно АО:

рубля.

б) Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин, вычисляется по формуле:

Пример 9.

Таблица 13

АО с размером дивидендов, руб	Число АО, ( )	Середина интервала ( )
7 – 130 130 – 253 253 – 376 376 – 499 499 – 622 622 – 745 745 – 868 868 – 991		68,5 191,5 314,5 437,5 560,5 683,5 806,5 929,5	890,5 2298,0 2201,5 5687,5 8968,0 8202,0 10484,5 13013,0
ИТОГО		-	51745,0

В данном случае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной. Поскольку интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числа повторений (частоты) не одинаковы.

Конкретными значениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах, служат середины интервалов (но не средние в интервалах значения), а весами частоты.

руб.

Данный результат отличается от полученного, на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаем не индивидуальными исходными данными, а лишь сведениями о величине середины интервала.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Среднее из средних величин вычисляется по следующей формуле, считая :

,

где – число единиц в каждой группе.

Свойства средних величин:

1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить (увеличить) в раз, тогда среднее значение нового признака соответственно уменьшится (увеличится) в раз.

;

2. Если варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на , то средняя арифметическая соответственно уменьшится (увеличится) на то же число .

3. Если веса всех усредняемых вариантов уменьшится (увеличится) в раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений от средней равна нулю.

Средняя гармоническая.

Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам x совокупности, а представлено их произведение . Обозначим это произведение через , тогда получим формулу средней гармонической взвешенной:

.

является преобразованной формой и тождественна ей. Вместо всегда можно рассчитать , но для этого нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Пример 10.

Таблица 14

АО с размером дивидендов, руб	Середина интервала ( )	Общий размер дивидендов в группе, руб.( )
7 – 130 130 – 253 253 – 376 376 – 499 499 – 622 622 – 745 745 – 868 868 – 991	68,5 191,5 314,5 437,5 560,5 683,5 806,5 929,5	890,5 2298,0 2201,5 5687,5 8968,0 8202,0 10484,5 13013,0
ИТОГО	-	51745,0

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая:

,

где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу,

– число вариантов.

Если по двум частям совокупности (численности и ) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

.

Средняя геометрическая.

Применяется, когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста (представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики). Вычисляется по формуле:

– число вариантов; – знак произведения.

Наиболее широко применяется для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения (рассмотрим ее применение позднее).

Средняя квадратическая и средняя кубическая.

– применяется для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, диаметров труб и т.п.

простая вычисляется по формуле:

.

взвешенная:

где – веса.

применяется при определении средней стороны длины кубов.

– простая

– взвешенная.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов , а из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Структурные средние.

Помимо степенных средних в статистической практике используются структурные средние, в качестве которых рассматриваются мода и медиана. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода ( )– значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Широко используется при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Формула для вычисления:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Пример 11: По таблице 1 рассчитаем моду. Наибольшая частота 16 в интервале [499 – 622), следовательно это и есть модальный интервал.

руб.

Итак, чаще всего встречаются АО с размером дивидендов 552 рубля.

Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Номер медианы для нечетного числа членов ряда вычисляется по формуле:

,

где – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Вычисляется медиана по формуле:

где – нижняя граница медианного интервала;

– медианный интервал;

– половина от общего числа наблюдений;

– сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

– число наблюдений в медианном интервале.

Пример 12: По таблице 1 найдем медиану (медианный интервал [499 – 622), т.к. половина накопленных частот принадлежит этому интервалу):

руб.

Следовательно, половина АО имеет дивиденды больше 537 руб., а половина меньше этого значения.

Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях. Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартили, на пять – квинтили, на десять – децили, на сто – перцентили.