Основные теоретические сведения. На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов

На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Обозначим через Х₁, Х₂,…, Х_m объясняющие переменные, влияющие на одну зависимую переменную Y. В этом случае возникает задача установления формы зависимости между переменными и определения функции регрессии. Тогда вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими объясняющими (независимыми) переменными:

Y= f (х₁, х₂, …,х_m), (2.1)

т.е. условное математическое ожидание имеет вид (2.1):

М(Y/ х₁, х₂, …,х_m) = f (х₁, х₂, …,х_m). (2.2)

Если между переменными наблюдается линейная зависимость, тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде

Y = ₀ + ₁ Х₁ + ₂ Х₂ + …+ _m Х_m + , (2.3)

или для индивидуальных наблюдений i, i = 1,2,…,n:

y_i = ₀ + ₁ x_i1 + ₂ x_i2 + …+ _m x_im + _i , (2.4)

= ( ₀ , ₁ , ₂ , …, _m)^т – вектор параметров, подлежащий определению.

Как и в случае парной регрессии по выборочным данным мы можем получить только эмпирическое уравнение модели

Y = b₀ + b₁ Х₁ + b₂ Х₂ + …+ b_m Х_m + e . (2.5)

Или для индивидуальных наблюдений

у_i = b₀ + b₁ x_i1 + b₂ x_i2 + …+ b_m x_im + e_i . (2.5)

Здесь В = (b₀ , b₁ , b₂ , …, b_m)^т - оценка вектора .

Для определения оценок b₀ , b₁ , b₂ , …, b_m воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде:

, , , .

Тогда уравнение множественной линейной регрессии второго рода запишем в виде

(2.6)

Остаточная сумма квадратов в данном случае равна

(2.7)

Результатом минимизации (2.7) является вектор

B = (X^T X)^-1 X^T Y . (2.8)

Оценки вектора В (2.8) являются несмещенными и эффективными, если выполняются предпосылки множественного регрессионного анализа.

Вычислим дисперсии коэффициентов регрессии b₀ , b₁ , b₂ , …, b_m, которые используются для оценки их точности, определения доверительных интервалов для теоретических коэффициентов ₀ , ₁ , ₂ , …, _m и проверки соответствующих гипотез. Вариации оценок параметров будут определять и точность уравнения множественной регрессии. Для измерения их в многомерном регрессионном анализе используют ковариационную матрицу вектора оценок

.

Дисперсии коэффициентов вычисляются по формулам

, (2.9)

В (2.9) S² – дисперсия регрессии, вычисляется по формуле

S² = ( (е_i² ))/(n – m – 1) , (2.10)

– j–й (j = 0, 1,…,m) диагональный элемент матрицы

Z^-1 = (X^T X)^-1. (2.11)

Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии 2-го рода определяется следующими характеристиками:

- доверительными интервалами для коэффициентов регрессии и их статистической значимостью;

- оценкой коэффициента детерминации и его статистической значимостью;

- выполнением предпосылок МНК;

- прогнозом значений зависимой переменной и его параметрами.

1. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии