Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии используется случайная величина

Т _bi = b_i / S_bi, i = 0, 1, 2, …,m, (2.12)

имеющая распределение Стьюдента.

Правило проверки заключается в выполнении следующих действий:

1. Вычисляется наблюдаемое значение критерия для i-го коэффициента (2.12).

2. По заданным уровням значимости , i = 0, 1, …,m и степени свободы по таблице распределения Стьюдента определяются критические значения распределения t_крит( ).

3. Сравниваются наблюдаемые и критические значения между собой. Результатом сравнения является вывод о значимости коэффициентов b₀ , b₁ , b₂ , …, b_m.

2. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии

Так как объем выборки ограничен, то b₀ , b₁ , b₂ , …, b_m – случайные величины, поэтому желательно найти доверительные интервалы для истинных значений ₀ , ₁ , ₂ , …, _m. Для этого также используется t – критерий Стьюдента. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии определяются по формулам

. (2.13)

3. Проверка общего качества уравнения регрессии

Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации R²

R² = 1 - е_i² / ( y_i - )² . (2.14)

Во множественной регрессии каждая новая переменная х_i приводит к увеличению R² , хотя это еще не означает, что уравнение регрессии становится более значимым. Чтобы исключить эту зависимость от числа переменных, иногда используют так называемый скорректированный коэффициент детерминации

. (2.15)

Эту формулу можно преобразовать к виду

. (2.16)

4. Анализ статистической значимости коэффициента детерминации

По величине R² можно только предполагать насколько значимо или не значимо уравнение регрессии. Даже при небольшой величине R² (< 0,5) не всегда следует отказываться от уравнения регрессии. Для этого необходимо проверить статистическую значимость самого коэффициента детерминации. Для чего проверяются гипотезы

Н₀ : R² = 0,

Н₁ : R² > 0.

Для проверки используется распределение Фишера. Вычисляется F – статистика

. (2.17)

При заданном уровне значимости по таблице критических точек Фишера находится f_кр, и если F > f_кр , то R² статистически значим.

5. Проверка выполнимости предпосылок МНК с помощью статистики Дарбина –Уотсона

Статистическая значимость коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R² еще не гарантируют высокое качество уравнения регрессии.

Если не выполняются необходимые предпосылки МНК об отклонениях , то коэффициенты регрессии и само уравнение являются не вполне состоятельными, а это значит что внешние признаки «хорошего» уравнения не отвечают действительности. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является проверка соответствия выборочных данных предпосылкам МНК. Для этого воспользуемся статистикой Дарбина – Уотсона, которая устанавливает, в частности, наличие или отсутствие статистической зависимости между ошибками .

Так как истинные значения неизвестны, то проверка осуществляется в отношении оценок ошибок е_i . При этом проверяется некоррелированность соседних значений е_i .

Статистика Дарбина – Уотсона DW рассчитывается по формуле

. (2.18)

По таблицам критических точек Дарбина – Уотсона, входными параметрами которых являются: n – число наблюдений; m – количество объясняющих переменных; – уровень значимости, определяются два числа: d₁ – нижняя граница; d_u – верхняя граница.

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d₁ , то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 - d₁ , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

При d_u < DW < 4 – d_u принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков.

Если d₁ < DW < d_u или 4 – d_u < DW < 4 – d₁ , то остается неопределенность по вопросу наличия или отсутствия автокорреляции остатков.

В случае обнаружения признака автокорреляции необходимо скорректировать уравнение регрессии в соответствии с рекомендациями Главы IV

6. Прогноз значений зависимой переменной

По аналогии с парной регрессией может быть построена интервальная оценка для среднего значения прогноза. Здесь речь идет о возможных значениях Y_р при определенных значениях вектора объясняющей переменной Х_р = (1, х_1р, х_2р, …, х_mр)^т .

Интервальный прогноз для среднего значения вычисляется следующим образом:

_р t_кр S , (2.19)

где _р = b₀ + b₁ x_1р + b₂ x_2р + …+ b_m x_mр; t_кр – критическое значение, полученное по распределению Стьюдента при количестве степеней свободы =n–m–1 и заданной вероятности /2.