Постановка задачі інтерполяції

Інтерполяція функції – наближена заміна функції f(x) більш простою функцією F(х), значення якої у вузлах інтерполяції x_і збігаються з відповідними значеннями f(x). На практиці частіше інтерполюють функції f(x) або навіть експериментальні дані, задані таблично в точках x_і (вузлах інтерполяції, i=0, 1, ..., n; всього n+1 штук), якщо необхідно визначити f(x) при x¹x_i. Розрізняють інтерполяцію у вузькому значенні, коли x знаходиться між x₀ та x_n, і екстраполяцію, коли x знаходиться поза межами відрізку. Для кривих з різною поведінкою різними будуть і класи функцій, які їх найкраще наближують. Наприклад, періодичні дані краще наближуються тригонометричними поліномами Фур'є, а деякі криві з розривами типу нескінченності – гіперболами та ін. Якщо крім значень f(x_і) інтерполююча функція у вузлах буде мати такі самі похідні (f'(x_і), f''(x_і), ...), як і оригінальна, то таке наближення буде більш точним.

Нам вже знайомий досить загальний випадок такої інтерполяції – розклад Тейлора для функції y(x) є

.

Кінцева сума є поліномом ступеня n, який і сам, і його перші n похідних відповідають оригінальним. Така інтерполяція є чудовою апроксимацією (наближенням) функції y(x) поблизу 0, але відхиляється від оригіналу все дужче та дужче, коли x віддаляється від 0.