Функция распределения системы двух случайных величин.

Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<х и Y<у:

(5.2.1)

Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки (случайного вектора), то функция распределения F(х,у) есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащий левее и ниже ее (рис. 5.2.1).

Сформулируем свойства функции распределения системы случайных величин.

1. Функция распределения F(x,у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е.

В этом свойстве функции F(х) можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией функции распределения как вероятности попадания в квадрант с вершиной (х,у) (рис. 5.2.1). Действительно, увеличивая х (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая у (смещая верхнюю границу вверх), мы, очевидно, не можем уменьшить вероят­ность попадания в этот квадрант.

2. Повсюду на функция распределения равна нулю:

F(x, ) = F( , y) = F( , ) = 0.

В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодви­гая влево правую границу квадранта (x ) или вниз его верх­нюю границу (у ) или делая это одновременно с обеими границами; при этом вероятность попадания в квадрант стремится к нулю.

3. При одном из аргументов, равном , функция распределения системы превращается в маргинальную функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

F (x, ) = F_l (x), F ( , у) = F₂ (у),

где F₁(x), F₂(y) — соответственно маргинальные функции распределения случайных величин X и Y.

4. Если оба аргумента равны , функция распределения системы равна единице:

F( , ) = 1

Действительно, при x , y квадрант с вершиной (х,у) в пределе обращается во всю плоскость хОу, попадание в которую есть достоверное событие.

Условимся событие, состоящее в попадании случайной точки (X, Y) в область D, обозначать символом (X, Y) D.

Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражается наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, ограниченный абсциссами и ординатами и (рис. 5.2.2).

Тогда событие (X,Y) R будет равносильно произведению двух событий: Х и Х . Выразим вероятность этого события через

функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости хОу четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках рис. 5.2.3.

Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник R равна вероятности попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант плюс вероятность попадания в квадрант (так как мы дважды вычли вероятность попадания в этот квадрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы:

(5.2.2)