Решение типовых задач. Пример 5.1. Среди n лиц разыгрываются т n выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов

Пример 5.1. Среди n лиц разыгрываются т n выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих? Когда выгоднее тащить билет?

Решение.

Обозначим через A_k событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после k извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать k+1 гипотез. Пусть гипотеза H_ks означает, что из k извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез

причем

.

Так как осталось n—k билетов, из которых т—s выигрышных, то при m s

.

По формуле полной вероятности находим

,

где при s>m.

Данное равенство можно записать также в виде

.

Имеем

,

т. е. справедливо равенство

.

Искомая вероятность Р(A_k)= при любом k. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения.

Пример 5.2. Отмеченный шар с вероятностями p и 1—p может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р 1). Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну?

Решение.

Пусть событие А — извлечение отмеченного шара.

Гипотезы: H₁—шар находится в первой урне, H₂—во второй.

По условию P(H₁)=p, Р(H₂)=1—р.

Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй n—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут

.

По формуле полной вероятности искомая вероятность

.

Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р (А). Дифференцируя Р(A) по т (для нахождения приближенного значения т считаем m непрерывным), получаем

.

Полагая, приходим к равенству

.

Поэтому должно быть

.