Понятие о выборочном методе.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Множество всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной совокупностью.. Число объектов генеральной совокупности называется объемом генеральной совокупности и обозначается N.

Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов. Для решения этой задачи проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным (например, перепись населения).

На практике сплошное обследование часто бывает невозможным (например, если при обследовании объект уничтожают), либо нерентабельным. В этих случаях применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Исследователь анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности. Число объектов выборки называется объемом выборки и обозначается п.

Еще рпз отметим, что отбор в выборку должен быть случайным, т.е. каждый элемент генеральной совокупности должен иметь равную вероятность быть отобранным. Репрезентативность выборки (представительность) обеспечивается способом случайного отбора и объемом выборки.

Различают два вида отбора:

- случайная повторная выборка (отобранный элемент возвращается в генеральную совокупность) и

- случайная бесповторнаявыборка (элементы не возвращаются в генеральную совокупность).

По способам отбора можно выделить следующие виды выборок :

· простая случайная выборка;

· механическая выборка;

· типическая или районированная;

· серийная или гнездовая;

· многоступенчатая и многофазная выборки.

Рассмотрим эти способы отбора подробнее.

Простая случайная выборка.Каждому объекту генеральной совокупности присваивается свой номер, затем все номера от 1 до N наносят на отдельные карточки, помещают их в закрытый ящик или лотерейный барабан. Из этого барабана случайно (повторно или бесповторно) n раз извлекаются карточки с номерами. Соответствующие этим номерам объекты генеральной совокупности подвергаются исследованию. Иногда для этой же процедуры используют датчик случайных чисел. Если какое-либо из отобранных случайных чисел оказывается больше N, то его отбрасывают.

Механическая выборка.Все объекты генеральной совокупности делят на n равных частей. Из каждой части отбирают каждый k-ый объект. Полученная таким образом совокупность объёмом в n элементов и образует механическую выборку.

Например, N = 2000, n = 100. В этом случае будет получено 100 групп по 20 объектов. Из каждой группы выберем один, например, объект с номером 15. Заметим, что механическую выборку не рекомендуется применять, если существует какая-либо систематическая повторяемость свойств среди механически отбираемых элементов.

Типическая или районированная выборка.Вся генеральная совокупность делится на однородные группы (районы). Из каждой группы берётся число объектов, согласно его доле во всей генеральной совокупности.

Пример 1.1.Tипическая выборка: пусть обследуются бюджеты 6000 рабочих (N = 6000). Среди них 1000 рабочих высокой квалификации, 2000 - средней квалификации и 3000 - малоквалифицированных. Требуемый объем выборки п = 600 рабочих. Из каждой группы с помощью простой случайной бесповторной выборки или с помощью механической выборки отбирают в соответствии с удельным весом группы в генеральной совокупности: из 1-й 100 рабочих, из 2-й 200 рабочих, из 3-й 300 рабочих.

Серийная или гнездовая выборка.Из генеральной совокупности отбирают не отдельные объекты, а целые серии, которые подвергают сплошному обследованию.

Пример 1.2.Серийная выборка: пусть обследуются 3000 рабочих на наличие более 2-х детей. Рабочие разбиты на 150 бригад. Надо обследовать 10% всех рабочих. Берут любые 15 бригад из 150 с помощью простой случайной бесповторной выборки (пронумеровав все бригады и заготовив карточки на каждую тянут из ящика без возвращения 15 карточек) и исследуют их все полностью (п = 300).

Многоступенчатый отбор.Из генеральной совокупности сначала производят отбор более крупных подмножеств, а затем из них отбирают более мелкие множества объектов. Наиболее часто применяется двухступенчатый отбор. Сначала серийная выборка подмножеств, а затем случайный отбор внутри каждого из них.