Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Классическое определение вероятности события




Читайте также:
  1. II 5.3. Определение сухой плотности
  2. II этап. Определение общей потребности в собственных финансовых ресурсах.
  3. III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОИЗВОДСТВА
  4. IV. Определение компенсирующего объёма реализации при изменении анализируемого фактора
  5. Nbsp;   7 Определение реакций опор для группы Ассура
  6. V 1: Определение и классификация
  7. А. Определение размеров района аварии
  8. А. Определение удельного электрического сопротивления максимально влажных пород мостовым способом переменного тока.
  9. Авиационные события
  10. Автоматические регуляторы. Определение закона регулирования регулятора (на примере САР теплообменника). Классификация линейных регуляторов. Нелинейный регулятор (пример)

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ωсодержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение.Вероятностью события Аназывается отношение числаNA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости.Ω = {w1, w2,…,w6} N = 6.

А – количество очков кратно трем А = {w3,w6} NA = 2.

.

 

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {w11, w12,…,w66}; N =36.

wkl = (ak, bl), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (NA = N);

2) 0 ( 0 ;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;

5) Р( ) = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р( ) = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров.Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченнойилисочетанием из n шаров по m шаров.Выясним, сколькими способами можнопроизвести ту или иную выборку



 

  Сочетания Размещения
Без возвращения
С возвращением

 

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm= =m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).



 

 

Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

1) Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.

2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 20; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты