Решение. 1.Определяем комплексы сопротивлений всех ветвей электрической цепи:

1.Определяем комплексы сопротивлений всех ветвей электрической цепи:

Z₁ = Ом

Z₂ = Ом

Z₃ = Ом

Перевод алгебраической формы сопротивлений в показательную форму осуществлён с использованием расчёта модуля сопротивления по формуле (2), а расчёт углового сдвига между векторами напряжения и тока в ветвях – по формуле (3).

Все дальнейшие промежуточные расчёты следуют вести с преобразованием алгебраической формы в показательную форму и наоборот, чтобы при выборе арифметических действий всегда были исходные результаты расчётов под рукой.

2.Определяем комплекс полного сопротивления разветвлённого участка цепи

Z₂₃ = (Z₂ х Z₃)/(Z₂ + Z₃) =

В приведённом расчёте после четвёртого равенства подробно представлен приём освобождения от мнимости в знаменателе с использованием умножения числителя и знаменателя дроби на сопряжённый комплекс относительно исходного в знаменателе данной дроби. Расчёт сопротивления разветвлённого участка реализовано по известной формуле параллельного соединения двух омических сопротивлений на постоянном токе с той лишь разницей, что вместо омических сопротивлений используются комплексы сопротивлений для переменного тока с обычными алгебраическими преобразованиями. Можно было расчёт комплексного сопротивления Z₂₃ реализовать с отмеченными ранее рекомендациями, то есть с использованием показательной формы комплексных сопротивлений Z₂ и Z₃ , результат расчёта был бы аналогичен (это при желании можно проверить дополнительно). В данном случае был показан дополнительный вариант расчёта эквивалентного сопротивления по известной формуле для двух параллельно соединённых сопротивлений (для постоянного тока), но лишь с использованием комплексных сопротивлений заданных в алгебраической форме. Дополнительно к сказанному подробно показано, как можно освободиться от мнимости в знаменателе дроби.

3.Определяем комплекс полного сопротивления всей электрической цепи:

Z = Z₁ + Z₂₃ =

Полученный результат расчёта окажется важнейшим для расчёта баланса мощностей, то есть в целом для проверки правильности проделанного расчёта данной задачи, а также для расчёта и анализа для данной цепи. По существу дела мы преобразовали исходную электрическую цепь к эквивалентной схеме, состоящей из эквивалентного активного сопротивления R_экв, которое позволит определить величину потребляемой активной мощности Р исходной электрической цепью и эквивалентного реактивного сопротивления Х_экв, которое позволит определить величину реактивной мощности Q исходной электрической цепи (рис. 5).

Рис. 5

4.По заданному вещественной частью подводимому к цепи комплексного напряжения и комплексу полного сопротивления Z определяем по закону Ома комплекс тока :

Z = А

Определив узловое напряжение Z₂₃, по закону Ома находим комплексы токов и в параллельных ветвях между узлами 2 и 3:

В,

Z₂ = А,

Z₃ = А.

Перевод комплексных токов из показательной формы в алгебраическую производится через тригонометрическую форму. Например, для тока первой ветви вещественная часть получена перемножением модуля тока равного двум амперам на косинус угла равного 3,5^º . Аналогично рассчитана мнимая проекция тока в первой ветви: .

5.Проверка полученных токов по первому закону Кирхгофа для узла 2:

А.

Пренебрегая погрешностью мнимой составляющей (менее 5%) первый закон Кирхгофа выполняется.

6.Определяем комплекс напряжения :

Z₁ = В.

Проверяем с учётом арифметического округления равенство

В,

которое выполняется.

7.Определяем комплекс полной мощности электрической цепи:

Р = 199,63 Вт, Q = 12,2 .

Таким образом, определены полная, активная и реактивная мощности, подведённые к данной цепи. Для проверки баланса мощностей определим мощность потребляемой электрической цепью. Для этого воспользуемся параметрами эквивалентной схемы замещения по рис. 5.

Вт,

.

Подводимая активная мощность к электрической цепи из вне, отличается от активной мощности потребляемой всеми ветвями электрической цепи на 1%, реактивная на 1,6%, следовательно, баланс мощностей выполняется, а задача считается решённой, верно. Необходимо отметить, что потребляемая мощность электрической цепью может быть рассчитана на каждом потребителе энергии отдельно, после этого сложением всех однотипных видов мощностей проверен баланс мощности. Но при сложных конфигурациях электрических цепей с большим количеством энергопотребителей расчёт баланса мощностей становится громоздким, поэтому целесообразнее расчёт баланса мощностей проводить показанным способом.

Для построения векторной диаграммы необходимо выписать в комплексном виде все напряжения и токи в показательной форме. Выявить максимальные и минимальные значения модулей напряжений с токами и грамотно выбрать масштабы, чтобы недопустить слишком маленьких векторов (из-за неудобств анализа) и больших, выходящих за пределы избранного формата бумаги для векторной диаграммы. Затем для удобства нанести на бумагу начальную точку векторной диаграммы, из которой проводится горизонтальная вещественная ось для нанесения на неё вещественно заданного в вариантах комплекса напряжения или тока. Затем из начала координат провести все вектора с учётом их модулей и углов в масштабе на векторную диаграмму. При этом положительные углы векторов откладываются против часового вращения, а отрицательные по часовому вращению. Провести анализ сдвигов векторов напряжений и токов относительно друг друга на соответствие теории электрических цепей однофазного переменного тока и законам электротехники. С учётом изложенных рекомендаций векторная диаграмма для рассчитанной электрической цепи представлена на рис.6 и рассчитан косинус фи для данной цепи.

или

Рис.6 Векторная диаграмма к задаче № 1.