Задания для контрольной работы.

Опр.Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х_о (или в точке х_о),

если для любого > 0 существует такое , что для всех х, удовлетворяющих

условиям |х – х_о| < , х¹х₀, имеет место неравенство |f (x) – А| < .

Если А есть предел функции f (x) при х, стремящемся к х_о, то пишут

или при .

Если в определении предела вместо неравенств , т.е. ,

х¹х₀, рассмотреть неравенства , то получим понятие правого предела. В

этом случае пишут

Рассматривая неравенства , вводим понятие левого предела:

.

Предел (двусторонний) функции в точке х_о существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают: f (x₀ –0)=f(x₀ +0).

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x® +¥, ,

если для любого >0 существует такое М>0, что х > М Þ | f (x) – А | < .

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x® -¥, ,

если для любого >0 существует такое М>0, что х < –М Þ | f(x) – А | < .

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при x® ¥, ,

если для любого >0 существует такое М>0, что | х | > М Þ | f (x) – А | < .

Замечание: вычисление любого предела начинается с подстановки предельного значения аргумента в функцию стоящую под знаком предела.

Пример 1. Вычислить предел

Пример 2. Вычислить предел

Пример 3. Вычислить предел

Решение. Если подставить х = 1 в рассматриваемую функцию, получим 0 в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностями, которые могут иметь вид: Для каждой неопределенности существуют свои способы вычисления пределов.

Разложим числитель на множители:

Замечание: а) замечательные пределы

б) эквивалентности при sin , , ,

. При вычислении пределов можно пользоваться этими соотношениями.

Пример 4. Вычислить предел

Необходимо разделить числитель и знаменатель на переменную в наивысшей степени:

Задание 2. Производная и её приложения.

1. Найти производные функций:

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

2. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

3. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность

4. Найти производные функций:

Исследовать функцию на экстремум

5. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

6. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность:

7. Найти производные функций:

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

8. Найти производные функций:

Исследовать функцию на монотонность:

9. Найти производные функций:

Исследовать функцию на экстремум:

10. Найти производные функций:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Указания к заданию 2