Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции.

Если f’’(x)<0 в интервале (a, b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f’’(x)> 0,то в интервале (a, b) график функции - вогнутый.

Точка (x₀; f(x₀)) графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если x₀ - абсцисса точки перегиба графика функции y=f(x₀), то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых f’’(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходи через критическую точку второго рода x₀, вторая производная меняет знак, то точка (x₀, f(x₀)) есть точка перегиба.

Пример: Если продолжить рассматривать предыдущий пример, то найдём вторую производную: если . Точек в которых функция не существует. - +

0

Так как вторая производная поменяла знак, то в точке х=0 имеется перегиб функции.

Задание 3.Найти интегралы:

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

Указания к заданию 3.

Опр. Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a,b). Если функция F(x) имеет производную на (а,b) и для всех выполняется равенство то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).

Пример:

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то

очевидно, и функция F(x)+С где С-любая постоянная, является первообразной

для функции f(x), на интервале (a,b).Справедливо и обратное утверждение.

Опр. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале

(а,b), называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале

и обозначается Таким образом, если F(х) - какая-либо первообразная функции f(x) на интервале (а,b). то пишут

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции f(x).