Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение I порядка

(1)

называется линейным, если отношение содержит переменную y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде

, (2)

здесь и произвольные функции аргумента x. В частности, если , то уравнение

(3)

называется линейным однородным (или уравнением без правой части). Уравнение (3) легко решается разделением переменных, и общее решение имеет вид

. (4)

« Потерянное» при разделении переменных решение входит в полученную совокупность решений при С=0.

Если , то уравнение (2) называется неоднородным линейным уравнением (или линейным уравнением с правой частью). Линейное уравнение решается методом вариации постоянных

Пример 1.Решить уравнение .

Решение.Перепишем уравнение в виде , это можно сделать, так как x=0не является его решением. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением.

1). Выпишем линейное однородное уравнение, соответствующее исходному уравнению: .

2). Разделим переменные в случае .

Решим последнее дифференциальное уравнение , . В итоге получаем решение однородного линейного уравнения: .

3). Выпишем вид общего решения , где – неизвестная функция. Вычислим производную . Подставим в исходное уравнение , .

В итоге получаем

Иногда уравнение, не являющееся линейным относительно неизвестной функции , становится линейным, если в нем поменять ролями переменные y и x, а именно взять за аргумент y, а за неизвестную функцию x, то есть . Линейное уравнение такого типа можно записать в виде . (5)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.Данное уравнение не является линейным относительно неизвестной функции . Допустим, что неизвестной является функция , уравнение можно переписать следующим образом:

, .

Полученное уравнение является линейным относительно функции .

Решим линейное однородное уравнение или

.

Выпишем вид общего решения линейного однородного уравнения тогда

.

Интегрируя по частям, найдем .

.