Достаточные признаки существования экстремума
Правило 1. Если при переходе (слева направо) через стационарную точку x0, производная f’(x0) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f’(x0) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знак не меняет, то экстремума нет.
Правило 2. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема и имеет непрерывную вторую производную в точке x0 и в некоторой ее окрестности, тогда если f’(x0)=0, a f’’(x0), то в точке х0 функция f(x0) достигает экстремума:
1) максимума, если f’’(x0)<0. 2) минимума, если f’’(x0)>0.
Пример: Используя ранее рассмотренный пример, можно увидеть, что производная при переходе через точки -1 и 1 меняет знак, следовательно, в этих точках имеется экстремум, причем в точке -1 - максимум, а в точке 1 - минимум.
-1 1 
в). Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба.
График функции y=f(x) называется выпуклым в интервале (а, b), если он расположен ниже касательной. проведенной в любой точке этого интервала (рис. З).

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (а, b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).
|