Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Однородные дифференциальные уравнения.

Читайте также:
  1. Дифференциальные гидроцилиндры
  2. Дифференциальные параметры
  3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТОКОВЫЕ ЗАЩИТЫ
  4. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
  5. Дифференциальные уравнения второго порядка
  6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
  7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
  8. Дифференциальные уравнения движения системы.
  9. Дифференциальные уравнения первого порядка
  10. Дифференциальные уравнения.

Если в уравнении (1)

функции М(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени, то уравнение (1) называется однородным.

Приведенное свойство однородных функций нулевого порядка используется при решении однородных дифференциальных уравнений, то есть имеет место равенство ƒ(x,y)= . Замечая, что в правой части стоит функция только одного аргумента , и обозначая её через , мы видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде (2)

При произвольно заданной непрерывной функции j переменные не разделяются. Но так как в правую часть переменные входят только в комбинации , то можно ожидать, что уравнение упростится, если ввести подстановку , откуда

y=tx, (3) тогда t+x . (4)

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (2) , или .

Таким образом, мы получили уравнение с разделяющимися переменным (5)

В случае, когда (то есть ) уравнение (2) имеет вид , которое интегрируется с разделением переменных. Его общее решение .

Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения:

1. Ввести новую функцию t = и подставить y = t x и t+x в уравнение (2).

2. В новых переменных t и x получить уравнение с разделяющимися переменными и найти его общее решение.

3. В полученном решении произвести обратную замену переменных t = и выписать решение исходного однородного уравнения.

Пример 2.Решить уравнение .

Решение.Разделим числитель и знаменатель правой части на x2: . Введем замену , тогда наше уравнение перепишется следующим образом. После упрощения получаем . Проинтегрируем последнее уравнение . Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби .

Þ получаем в итоге .

Вычислим интеграл

Окончательно получаем , или .

Делая обратную замену, получаем или .


Дата добавления: 2015-01-01; просмотров: 13; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интегрирование по частям. | Линейные дифференциальные уравнения
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты