Вопрос. Нормальные модальные системы и их интер. в семантике возможных миров.

Идея возможного мира впервые была высказана Лейбницем.

Возможный мир - линия событий, отличающаяся от настоящего мира. Наш действительный мир - воплощение лучшего исхода событий. Если воплотить действительность, то она реализуется в теории модальных множеств (Хинтикка), семантика возможных миров (Крипке). Для установления значения модального высказывания недостаточно соотнести его с действительным миром, обязательно требуется также обратиться к возможным альтернативам этому миру. У Крипке необходимость понимается как истинность в каждом мире, альтернативном данному, а возможность - как истинность, по крайней мере, в одном из таких миров.

Исчисление Т в минимальной нормальной логике (ин-я в семантике во-м. миров):

Исходная семантическая конструкция - множество М, интерпретируемое как множество возможных миров. Последние понимаются в высшей степени абстрактно как некие точки соотнесения формул языка с внеязыковой сферой, благодаря которым (точкам) формулы приобретают те или иные истинностные значения. Единственное требование, предъявляемое к множнству возм. миров - непустота последнего. Один из элементов множ. М, например, М0 - является действительным миром. Действительный мир - это всего лишь какой-то из возм. миров. Таким образом понятие возм. мира оказывается более фундаментальным, чем понятие действ. мира. Важнейшим вкладом Крипке в решение построения адекватной семантики для модального исчисления было введение в неё особого бинарного отношения - R, связывающего возможные миры между собой. Это отношение сам Крипке назвал "отношением достижимости"( <[G], H, R>

H э {G}. Отношение достижимости - R.) одного мира из другого мира. Для его обозначения используется также термин отношения альтернативности. Метаязыковое выражение R (m1, m2) означает, что из мира m1 достижим мир m2 или что мир m2 является альтернативой миру m1. В семантике для системы Т постулируется рефлексивность отношения достижимости: каждый возможный мир достижим сам из себя. Возможными значениями пропозициональных переменных, как и в классической логике, являются истина (1) и ложь (0). Однако оценка переменных в семантике модальной логики релятивизируется относительно возможных миров: пропозициональные переменные оцениваются как истинные или ложные не сами по себе, а в каком-то возможном мире, причем в различных мирах одна и та же премененная может принимать разные значения. Такой подход к оценке формул позволяет утверждать, что в данной семантике реализована философская идея конкретности истины. I (p, m)=1 - означает, что в возможном мире m, переменная p принимает значение= ис тина. I - это такая интерпретирующая функция, т.е. функция приписывания значение нелогическим символам алфавитам. Она двухместная.

Свойства бинарных отношений:

Первая группа: возможность отношения некоторого предмета к самому себе.

1)Рефлексивные

2) Арефлексивные

3) Иррефлексивные. (ничто не может быть больше самого себя)

Вторая группа: два разных предмета.

1) Симметричные (А=В, В=А)

2) Асимметричные (Петя уважает Пашу, а Паша Петю - нет)

3) Антисимметричные (Так как 7>5, то не может быть 5>7)

Третья группа:

1) Транзитивность (допускается устранение последнего элемента) Например: 5>3, 5<7, значит. 7>3

2) Атранзитивность. (не доп-ся)

Если отношения являются иррефлексивными, асимметричными, транзитивными, то такое отношение называется отношением порядка. Используются для характеристики ряда натуральных чисел. Любая субординация система объектов.

Отношения эквивалентности - отношение рефлексивное, симметричное, транзитивное.

Классы эквивалентности. Классы равночисленных классов - числа. Равнообъемность - вероятность установления соответствия. Число 2 - класс тех классов, которые состоят из двух.

Достижимость: Бинарное отношение. <[G], H, R>

Правила построения аналитических таблиц для модальной логики:

Для логических союзов правила те же, что и в КЛВ. + ещё 4. (по два для необходимости и возможности)

1) Если аподиктическое суждение - слева, то ассерторическое суждение (т.е. та же самая формула без модального оператора необходимости) помещается в левую часть всех альтернативных таблиц, достижимых из исходной.

2) Если аподиктическое суждение - справа, то строится новая альтернативная таблица и в её правую часть помещается ассерторическое суждение.

3) Если проблематическое (т.е. с оператором возможности) суждение - слева, то строится новая альт. таблица и асс-кое суждение помещается в ее левую часть.

4)Если пр-е суждение - справа, то асс-ое суждение помещается в правой части всех альт. таблиц, достижимых из исходной.

Альтернативная таблица называется замкнутой, если одна и та же формула входит и в её левую, и в её правую часть. Если хотя бы альт. таблица - замкнута, то замыкаем всю систему альт. таблиц. Если система всех возможных миров замкнута, то формула называется тавтологией.