Общие сведения. Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из грузика массы m, подвешенного на невесомой упругой пружине (рисунок 1).

Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из грузика массы m, подвешенного на невесомой упругой пружине (рисунок 1).

Будем характеризовать смещение грузика из положения равновесия координатой x, причем ось направим по вертикали вниз. Если подвесить на пружине (рисунок 1а) груз весом P = m × g, то нижний конец её сместится на величину x_ст, называемую статическим смещением (рисунок 1б). В этом положении статического равновесия сила тяжести будет уравновешиваться упругой силой по закону Гука F₀ = –k×x_ст. Здесь k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

Если сообщить грузику смещение A и предоставить систему самой себе, то под действием упругой силы грузик будет двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы убывает, одновременно скорость грузика, и, следовательно, кинетическая энергия системы увеличивается. Пройдя положение статического равновесия, движение грузика начинает замедляться. При этом потенциальная энергия системы увеличивается за счет кинетической энергии. Движение прекращается в тот момент времени, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение грузика станет равным –А. Если в системе отсутствует сопротивление среды, то полная энергия системы будет оставаться постоянной и грузик будет колебаться в пределах от x = А до x = –А неограниченно долго. Уравнение второго закона Ньютона для этого случая записывается в виде:

, (1)

здесь ускорение .

Введем обозначение:

, (2)

с учетом этого приведем (1) к виду:

. (3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Решение уравнения (3) имеет вид:

x = A × cos (w₀×t + j).

Таким образом, под действием возвращающей силы вида F = –k×x грузик совершает гармонические колебания.