Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Уравнение линии. Прямая на плоскости




Читайте также:
  1. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.
  2. Бегущие волны описываются [1] волновым уравнением
  3. БЮДЖЕТНАЯ ЛИНИЯ И БЮДЖЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ПОТРЕБИТЕЛЯ. ВЛИЯНИЕ ДОХОДА И ЦЕН НА ПОЛОЖЕНИЕ БЮДЖЕТНОЙ ЛИНИИ.
  4. В приближении идеального газа уравнение Клапейрона -Клаузиуса примет вид
  5. Вектор скорости лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направлен по касательной к описываемой точкой окружности в направлении вращения.
  6. Второе уравнение Максвелла является обобщением …: закона электромагнитной индукции
  7. Где a - коэффициент трения. Это уравнение может быть переписано в виде
  8. Гидростатика. Основные свойства гидростатического давления. Основное уравнение гидростатики.
  9. Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
  10. Дифференциальное уравнение

Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.

Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.

Определение. Уравнение

 

F(х, у)=0

 

называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.

Пример № 4.

Показать, что уравнение

 

х22=r2

определяет окружность.

Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) – любая точка плоскости.

Расстояние этой точки от начала координат

Тогда уравнению х22=r2 удовлетворяют только те точки, для которых r, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние r.

Итак, уравнению х22=r2 удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х22=r2 определяет окружность при любом r>0.

Очевидно, уравнение

 

(х-х0)2+(у-у0)2=r2

 

определяет окружность с центром в точке С(х0, у0) радиуса r>0.

Например, уравнение

 

х2+(у+1)2=1

 

определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).

Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М000) перпендикулярно данному вектору = (А; В).

Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.

В любом случае вектор , ограниченный данной точкой М000) и произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен данному вектору (А; В). Найдем координаты вектора и запишем условие перпендикулярности векторов и .

 

^ ÞА × (х – х0) + В × (у – у0) = 0.

 

Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).



 

А × (х – хо) + В × (у – у0) = 0 (1)

 

– уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор (А; В) называют нормальным вектором.

В уравнении (1) раскроем скобки:

А × х + В × у + (–А × х0 – В × уо) = 0

 

Обозначим число – А × х0 – В × у0 = С. Уравнение прямой примет вид:

 

А × х + В × у + С = 0 (2)

 

Его называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .

Заметим, что уравнение прямой – уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М00, у0) параллельно данному вектору =(m; n).

Пусть М(х, у) – любая точка прямой. Тогда векторы и всегда коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов ; у–у0) и =(m; n):

 

(3)

уравнение прямой, параллельной вектору =(m; n).

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М11, у1) и М22, у2)



Для любой точки М(х, у) прямой векторы =(х – х1; у – у1) и = (х2 – х1; у2 –у1) всегда коллинеарны, а потому

 

(4)

 

– искомое уравнение.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М00, у0) под углом к оси абсцисс Ох.

Угол между прямой и осью Ох называют углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой называют тангенс угла наклона этой прямой, т. е. k =tg .


Для любой точки М(х, у) прямой отношение равно , поэтому или у–у0=k×(х–х0).

Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М00, у0) в заданном направлении

 

у–у0 = k × (х–х0) (5)

 

Здесь – угловой коэффициент прямой. Угол наклона

Если точка М0 – точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х0= 0, у0= b. Уравнение принимает вид: у–b=k×x, или

 

у = k × x + b (6)

 

– уравнение прямой с угловым коэффициентом, b – начальная ордината прямой.


5. Угол между прямыми

Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:

 

А1×х+В1×у+С1=0 и А2×х+В2×у+С2=0

 

Так как = (А1; В1) и – нормальные векторы данных прямых, то угол между прямыми равен углу между нормальными векторами и .

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и , то угол между ними удобнее вычислять по формуле:

 

доказательство которой легко усматривается из рисунка:

 

Если прямые перпендикулярны, то 1 + k1 × k2 = 0 и .

Если прямые параллельны, то

k1 = k2.

 

Пример № 5



Проверить, что четыре точки А(–2;–2), В(–3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.

В трапеции две стороны параллельны, а две – нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).

Уравнение АВ:

 

или у+2=-3(х+2).

 

Уравнение ВС: ,

 

или у–1= .

 

Уравнение CD:

 

или у–7= .

 

Уравнение DА: ,

 

или у-1= .

Сравним угловые коэффициенты полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: .

ВС и DA – основания трапеции, АВ и СD – боковые стороны ее.

Высота трапеции перпендикулярна основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен . Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(–2,–2) с угловым коэффициентом k= по формуле (5):

у+2= или 5х+3у+16=0.

 

Построением убедимся в правильности решения.

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 27; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.021 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты