Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Обзор кривых второго порядка




Читайте также:
  1. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  2. N-го порядка
  3. Аппроксимация кривых относительных фазовых проницаемостей.
  4. В. Понятие общественного порядка и общественной безопасности. Правовое положение полиции.
  5. Вероятностная оценка случайной величины – наработки до второго отказа
  6. Взаимное пересечение кривых поверхностей на чертеже (2.ГПЗ)
  7. Взаимоотношения банков второго уровня и гос. уполномоченных органов.
  8. Виды юридических лиц в зависимости от порядка создания подразделяются на образованные
  9. Влияние второго фактора
  10. Вопрос 2. В каком случае бесконечно малые α (х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка в точке х0?

 

Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

В п. 4 было получено уравнение окружности с центром С(х0, у0) и радиусом r:

 

(х–х0)2 + (у–у0)2 = r2 (14)

 

Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x2+y2+m×x+n×y+p=0. Заметим, что коэффициенты при х2 и у2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х2 и у2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.

Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:

 

(15)

 

Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А1(a, 0), А2(-а, 0), В1(0, b), В2(0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А1А2|=2а и |В1В2|=2b называют осями, а числа а и b – полуосями эллипса (а>0, b>0). Из уравнения (15) эллипса видно, что эллипс – фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы F1(c, 0) и F2(–c, 0) построим, учитывая,

что (при а>b).

По определению сумма остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.

 

Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:

 

(16)

 

 

В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .

Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:

(17)

Как видно, коэффициенты при х2 и у2 имеют разные знаки.



Числа а и b (а>0 и b>0) называются полуосями гиперболы.

Точки А1(а,0), А2(–а,0), В1(0,b) и В2(0,–b) называют вершинами гиперболы.

Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А1, А2, В1, В2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот

 

и

 

Через вершины А1(а, 0) и А2(-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии – точки О(0,0) – они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.

 

 

Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:

 

,

 

Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .

Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах2+bх+с.

Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду

 

(х–х0)2=±2р×(у–у0) (18)

 

 

Здесь точка С(х0, у0) – вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус – вниз.



Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид

 

(у–у0)2 = ±2р × (х–х0). (19)

 

 

Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 18), либо у (формула 19).

Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.

В заключение данного обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов.

Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т. д., убеждают в широком применении кривых второго порядка.

Вопросы для самоконтроля

 

Прежде чем Вы приступите к выполнению контрольного задания, попробуйте ответить на предлагаемые вопросы для самоконтроля. Если Вы будете испытывать затруднения при ответе на конкретный вопрос, попытайтесь найти на него ответ, вернувшись к теоретической части курса. Было бы лучше, если бы Вы воспользовались любым стандартным учебником по аналитической геометрии.



1. Что можно сказать о взаимном расположении векторов:

, ?

2. Как расположены векторы в декартовой системе координат на плоскости: ; ; ; ?

3. Среди векторов укажите равные векторы, коллинеарные векторы, векторы одинаковой длины, взаимно перпендикулярные векторы:

, , , .

4. Как найти точку пересечения двух линий на плоскости, если уравнения этих линий даны?

5. Каков геометрический смысл системы и ее решения?

6. Какое множество точек на плоскости определяется уравнением

 

1) х=2; 2) х+3=0; 3) у=–1;

4) у–3=0; 5) х+у=0; 6) у=|х| ?

7. Какое множество точек на плоскости определяется системой неравенств:

1) 2) ?

8. Какое множество точек в пространстве определяется уравнением:

 

1) х+у=1, 2) х=5 3) z=-2?

9. Какое множество точек в пространстве определяется системой неравенств:

?

2.10. Как выполнить контрольное задание № 2 «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

 

Задача № 1

Дан треугольник АВС:

А(4, 2), В(-2, 1), С(2, -3).

Найти длины и уравнения его сторон, угол при вершине B, площадь треугольника, уравнение описанной окружности. Записать систему неравенств, определяющих область треугольника.

При решении этой задачи будут использованы формулы, полученные в п. 4.

1) Найдем длины сторон по формуле

2) Составим уравнение каждой стороны треугольника по формуле (4):

Уравнение АВ: или у–1=

Уравнение ВС: или у–1= –(х + 2).

Уравнение АС: или

3) Для вычисления угла при вершине В найдем координаты векторов и , выходящих из точки В и совпадающих со сторонами треугольника:

;

Тогда величина искомого угла найдется из формулы:

 

.

4) Вычислим площадь треугольника по формуле (11):

Подставив координаты вершин А, В, С, получим:

S=14(кв. ед.).

Здесь определитель равен положительному числу 28, поэтому следует взять знак плюс.

5) Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Найдем координаты середин двух сторон АВ и ВС и проведем через эти точки прямые, перпендикулярные сторонам треугольника.

Итак, пусть точка D – середина АВ.

Через точку D (1; ) проведем прямую с угловым коэффициентом k2, который найдем из условия перпендикулярности прямых: k2= – , где (см. уравнение АВ). k2= – 8.

Уравнение перпендикуляра: у– = –8×(х–1) или 16х + 2у–19 = 0. Точка Е – середина ВС и ее координаты:

Через точку Е (0, –1) проведем прямую с угловым коэффициентом k=1, т. к. уравнение ВС: у–1=–(х+2).

Уравнение этого перпендикуляра: у+1=х или х–у–1=0.

Центр окружности (точку Р) найдем как точку пересечения найденных перпендикуляров из системы:

.

Тогда у = х – 1 = .

Точка Р ( – центр описанной окружности, радиус которой r = Найдем .

Уравнение описанной окружности –

или .

 

Составим систему неравенств, определяющих область треугольника АВС.

Уравнение прямой АВ: или х – 8у + 10 = 0.

Найдем ту полуплоскость с границей на прямой х – 8у + 10 = 0, в которой лежит вершина С(2, –3). Подставив ее координаты в левую часть уравнения прямой АВ, получим неравенство 2 – 8×(–3) + 10 < 0. Поэтому нужная нам полуплоскость определяется неравенством х – 8у + 10 < 0.

Уравнение прямой ВС: у – 1 = –(х + 2) или х + у + 1 = 0. Координаты точки А (4, 2) дают неравенство 4 + 2 + 1 > 0. Поэтому область треугольника лежит в полуплоскости, для которой х + у + 1 > 0.

Уравнение прямой АС: у + 3= или 5х – 2у – 16 = 0.

Координаты точки В (–2, 1) позволяют выбрать нужную полуплоскость:

 

, т.е. 5х – 2у – 16 < 0.

Система неравенств определяет область треугольника АВС.

 

Задача № 2.

Даны точки М1(–1,2,0), М2(1,–2,1), М3(3,1,–1), М4(3,0,1).

Составить уравнение плоскости, проходящей через

1) точки М1, М2, М3;

2) точку М4 параллельно плоскости М1 М2 М3;

3) точку М4 перпендикулярно вектору .

Вычислить объем пирамиды М1М2М3М4.

При решении этой задачи используются формулы из п. 6 и п. 7.

1) Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3 по формуле (13):

или 5х + 6у + 14z – 7 = 0.

Подставив координаты точек М1, М2, М3 в полученное уравнение, убедимся, что уравнение составлено верно.

2) Коэффициенты при х, у, z в полученном уравнении (А=5; В=6; С=14) определяют положение параллельной плоскости, проходящей через точку (х0, у0, z0) по формуле (7):

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку М4(3,0,1) параллельно плоскости М1М2М3 имеет вид:

 

или 5х + 6у + 14z – 29 = 0.

3) Принимая вектор за нормальный вектор плоскости, составим уравнение плоскости, проходящей через точку М4 (3,0,1) перпендикулярно вектору :

 

2×(х–3)–4(у–0) + 1×(z–1) = 0 или 2х–4у + z– 7 = 0.

 

4) Объем пирамиды М1М2М3М4 вычислим, используя формулу (12):

 

.

V= (куб. ед.).

 

Задача № 3.

Какую линию определяет уравнение?

а) Дано уравнение:

 

16х2 + 25у2 – 96х + 50у – 231 = 0.

 

Приведем его к простейшему виду, выделив полные квадраты с переменной х и с переменной у:

 

16×(х2 – 6х + 9) – 16×9 + 25×(у2 + 2у + 1) – 25 – 231 = 0.

16×(х – 3)2 + 25×(у + 1)2 = 400.

 

Разделим обе части на 400:

 

или .

Получено уравнение эллипса (16) с полуосями а=5, b=4 и центром симметрии в точке С(3,–1).

Построим эллипс, оси симметрии которого проходят через точку С(3,–1) параллельно координатным осям. Их уравнения х = 3 и у = –1.

б) Дано уравнение:

 

2 + 4у2 + 18х – 16у – 11 = 0.

 

Преобразуем его:

 

9(х2 + 2х + 1) – 9 + 4(у2 – 4у + 4) – 16 – 11 = 0

9(х + 1)2 + 4(у – 2)2 = 36

.

Это уравнение эллипса с центром симметрии в точке С(–1,2). Оси симметрии имеют уравнения: х = –1 и у = 2.

Полуоси эллипса а = 2 и b = 3, т. е. эллипс вытянут по оси Оу.


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 31; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.019 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты