Функциональная зависимость

Понятие функции и функциональной зависимости является основополагающим в математике. Это понятие тесно связано с понятием числового множества.

Числовым множеством будем называть всякую совокупность вещественных чисел. Каждое вещественное число изображается точкой числовой оси, поэтому всякому числовому множеству можно сопоставить на оси множество точек.

Отрезком [а, b] называется множество чисел х, для которых а £ х £ b. Длина отрезка [а, b] равна b–а.

Интервалом (а, b) называется множество чисел х, для которых а < x < b.

Интервал называют открытым промежутком, отрезок – замкнутым.

Дадим важное в дальнейшем понятие δ-окрестности (δ – дэльта) точки. Пусть х₀ – некоторое число и δ > 0 (положительное число).

Определение. δ-окрестностью числа х₀ называется множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х₀–δ < х < х₀+δ.

Иначе говоря, δ-окрестность точки х₀ – это интервал с центром в точке х₀, длина которого равна 2δ.

Рис. 1.

Используя определение модуля (абсолютной величины) числа, δ-окрестностью числа х₀ можно назвать все те числа х, которые удовлетворяют неравенству |х–х₀|<δ.

Изучая тот или иной процесс, мы сталкиваемся с различными величинами, которые можно разбить на два типа.

Одни величины в данном процессе остаются неизменными. Их называют постояннымивеличинами. Другие в данном процессе изменяются и называются переменными. Например, при движении автомобиля его длина, ширина постоянны, а длина пути, количество бензина в баке являются величинами переменными.

Определение.Множество всех значений переменной величины, которое она принимает в процессе своего изменения, называется множеством ее значений или областью изменения переменной.

Рассматривая некоторый процесс, мы имеем дело со взаимным изменением нескольких величин, когда изменение одной величины влечет изменение другой.

Понятие функциональной зависимости возникло в результате отвлечения от физической сущности взаимно изменяющихся величин и выделения самого факта зависимости.

Определение. Если каждому значению переменной величины х из множества Х ее значений по некоторому правилу сопоставлено определенное значение другой переменной у, то у называется зависимой переменной или функцией от х.

х называется независимой переменной (аргументом); множество Х называется областью определения данной функции. Множество У значений переменной у называется множеством значений функции.

Задать функцию – значит задать и область определения ее и закон соответствия между переменными х и у.

Функция обозначается следующим образом:

у=ƒ(x), y=φ(х), у=F(х) и т.п.