Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии

На плоскости уравнение прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид:

– формула (3) в п. 4

Это же уравнение можно получить и с помощью определителя, а именно:

(10)

– уравнение прямой, проходящей через точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂).

Чтобы убедиться, что это уравнение действительно определяет прямую, достаточно применить правило Сарруса к определителю.

С помощью формулы (10) легко получить условие принадлежности трех точек одной прямой, Если точки М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂) и М₃(х₃, у₃) лежат на одной прямой, то справедливо равенство

.

Без доказательства приведем формулу для вычисления площади треугольника по координатам его вершин:

или (11)

При вычислении определителя может получиться отрицательное число и, чтобы площадь S была положительным числом, следует взять либо абсолютную величину (модуль) определителя, либо выбрать нужный знак.

В векторной алгебре широко используются определители при рассмотрении таких операций как векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов и т. д. Не имея возможности остановиться подробно на этих вопросах, мы тем не менее приведем некоторые формулы, которые используются при решении геометрических задач.

Если известны координаты трех векторов , , , то объем V параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах, вычисляется по формуле:

. (12)

Тогда очевидно, что если векторы , и компланарны (т. е. лежат в одной или в параллельных плоскостях), то

При помощи этой формулы получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃). Векторы будут компланарны, если точка М(х, у, z) – любая точка этой плоскости.

Запишем координаты этих векторов:

).

Используя условие компланарности, получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

(13)

Наконец, условие принадлежности четырех данных точек М₁, М₂, М₃ и М₄ одной плоскости имеет вид:

Пример № 8

Даны вершины пирамиды А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0), D(4, 1, 2). Вычислить объем пирамиды и составить уравнение ее грани АВС.

Найдем координаты векторов, выходящих из одной вершины:

Эти векторы служат ребрами пирамиды, объем которой составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах. Поэтому объем V пирамиды:

Заметим, что поскольку определитель равен –3, следует в формуле для вычисления объема выбрать знак минус. Итак, объем V= куб. ед.

Грань АВС лежит в плоскости, проходящей через точки А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0).

Поэтому уравнение этой плоскости:

или

Вычислим определитель:

Итак, уравнение искомой плоскости 3z – 6 + 3у – 3х + 6у = 0 или

х – 3у – z + 2 = 0.