![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Бесконечные ряды
Приведем слова виднейшего нашего математика А.Я. Хинчина: «Среди различных математических аппаратов, могущих служить орудиями исследований функций, первое место по простоте, гибкости, прозрачности и удобству употребления, без сомнения, занимают функциональные ряды». Начнем рассмотрение с бесконечных числовых рядов. Определение: Бесконечным числовым рядом называется выражение
числовая последовательность. Числа Рассмотрим суммы
Рассмотрим последовательность Определение.Числовой ряд
называется сходящимся, если существует предел его частичных сумм называют суммой ряда и записывают Если же не существует
Рассмотрим примеры. Пример 1. Для бесконечного числового ряда 1-1+1-1+1-1+... найдем частичные суммы:
Последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,... не имеет предела следовательно, ряд 1-1+1-1+1-1+... расходится.
Пример 2.Рассмотрим ряд
Найдем его частичные суммы, преобразовав вначале дробь
Найдем предел последовательности
Следовательно, ряд сходится и
Пример 3. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии Здесь Сумма Преобразуем 1) и существует 2) и не существует 3) Если
при
при
Итак,ряд геометрической прогрессии a + aq + aq2 + aq3 +…+ aqn–1 +… сходится при При Например, ряд
Ряд Докажем теорему о необходимом условии сходимости ряда. Теорема: Если ряд
предел его общего члена стремится к нулю. Действительно, Понятно, что Замечание. Если необходимый признак сходимости ряда не выполняется, т. е. если Например, числовой ряд
расходится, т. к. его общий член
Условие В качестве такого ряда приведем так называемый гармонический ряд:
Его общий член Интуитивно понятны и следующие рассуждения. Рассмотрим ряд Пусть k – любое натуральное число. Ряд Справедлива теорема: Ряд и его остаток одновременно сходятся или расходятся. Например, ряд геометрической прогрессии
т. к.
Тогда сходится и ряд Из суммы первоначального ряда вычитаются отброшенные члены 1 и Мы можем утверждать, что ряд Ранее мы доказали сходимость ряда
Тогда сходится, например, ряд
|