![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Предел последовательности
В основе математического анализа лежит понятие предела переменной величины, с помощью которого определяются другие понятия: непрерывность функции, производная, определенный интеграл и т.д. Рассмотрим определение предела последовательности и некоторые способы отыскания предела последовательности. Для начала обратимся к примерам. Последовательность Ясно, что величина членов этой последовательности с ростом номера n неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю. Последовательность Ясно, что с ростом номера n величина членов последовательности приближается к единице, т.е. члены последовательности отличаются от единицы тем меньше, чем больше номер n. Последовательность Ясно, что величина членов этой последовательности неограниченно увеличивается. Последовательность В отличие от рассмотренного уже примера Такие последовательности называют бесконечно малыми, их предел равен нулю и факт этот записывают так: (Читают: предел Для последовательности
Для последовательности Что касается последовательности an=n3, то величина ее членов увеличивается неограниченно. Такие последовательности называют бесконечно большими, они не имеют предела и факт этот записывают так:
(Читают: предел an равен бесконечности).
Здесь знак ¥ (бесконечность) означает только то, что последовательность неограниченно возрастает и не имеет предела. Дадим точное определение предела последовательности. Определение. Число А называется пределом последовательности а1,а2,...,аn,..., если для любого положительного числа Этот факт записывают так: (Читают: предел последовательности Иногда пользуются записью: Заметим, что в определении предела используют число В рассмотренных примерах: А=0. А=1 для последовательности Рассмотрим последовательность Та же последовательность запишется несколько иначе:
Теперь видно, что с ростом номера n члены последовательности отличаются от числа 2 все меньше и меньше. Для любого положительного числа e (например,e = А именно:
Заметим, что не всякая последовательность обязательно имеет предел. Рассмотрим последовательность Ее члены: Ясно, что члены этой последовательности остаются равными либо 0, либо 2 и не приближаются ни к какому пределу, т.е. Вспомним уже знакомые из курса средней школы последовательности: арифметическую и геометрическую. Арифметическая последовательность Сумма первых n членов арифметической прогрессии Геометрическая последовательность Сумма первых n членов геометрической прогрессии
|