Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Предел последовательности




Читайте также:
  1. A,b-Непредельные карбонильные соединения
  2. I. Подходы к определению стоимости СК.
  3. I. ПРЕДЕЛЫ
  4. II 5.3. Определение сухой плотности
  5. II этап. Определение общей потребности в собственных финансовых ресурсах.
  6. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДА
  7. III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОИЗВОДСТВА
  8. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
  9. IV. Определение компенсирующего объёма реализации при изменении анализируемого фактора
  10. Nbsp;   7 Определение реакций опор для группы Ассура

 

В основе математического анализа лежит понятие предела переменной величины, с помощью которого определяются другие понятия: непрерывность функции, производная, определенный интеграл и т.д.

Рассмотрим определение предела последовательности и некоторые способы отыскания предела последовательности. Для начала обратимся к примерам.

Последовательность имеет вид .

Ясно, что величина членов этой последовательности с ростом номера n неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю.

Последовательность имеет вид .

Ясно, что с ростом номера n величина членов последовательности приближается к единице, т.е. члены последовательности отличаются от единицы тем меньше, чем больше номер n.

Последовательность имеет вид 1,8,27,64,125, ... .

Ясно, что величина членов этой последовательности неограниченно увеличивается.

Последовательность имеет вид .

В отличие от рассмотренного уже примера члены этой последовательности имеют разные знаки, но абсолютная величина их членов с ростом номера n неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю. Какое бы (даже очень малое) положительное число мы не задали (например ), понятно, что, начиная с номера n=50, все последующие члены последовательности по абсолютной величине будут меньше выбранного числа т.е. для всех n > 50

Такие последовательности называют бесконечно малыми, их предел равен нулю и факт этот записывают так:

(Читают: предел при n стремящемся к бесконечности равен нулю).

Для последовательности аналогично

или .

Для последовательности запишем или

Что касается последовательности an=n3, то величина ее членов увеличивается неограниченно. Такие последовательности называют бесконечно большими, они не имеют предела и факт этот записывают так:

или .

(Читают: предел an равен бесконечности).

 

Здесь знак ¥ (бесконечность) означает только то, что последовательность неограниченно возрастает и не имеет предела.

Дадим точное определение предела последовательности.

Определение. Число А называется пределом последовательности а1,а2,...,аn,..., если для любого положительного числа существует такой номер что для всех n> выполняется неравенство

Этот факт записывают так:



(Читают: предел последовательности при n стремящемся к бесконечности равен А).

Иногда пользуются записью: при n®¥×

Заметим, что в определении предела используют число (эпсилон). Это положительное, сколь угодно малое число. Число А может быть для различных последовательностей любым действительным числом.

В рассмотренных примерах: А=0.

А=1 для последовательности или

Рассмотрим последовательность Ее члены имеют вид . Покажем, что Для этого преобразуем разделив числитель почленно на знаменатель:

Та же последовательность запишется несколько иначе:

.

Теперь видно, что с ростом номера n члены последовательности отличаются от числа 2 все меньше и меньше. Для любого положительного числа e (например,e = ) можно найти номер (ne=15) ne такой, что для всех номеров n>ne (n>15) выполняется неравенство <e.

А именно:

и т.д.

Заметим, что не всякая последовательность обязательно имеет предел.

Рассмотрим последовательность

Ее члены: т.е. последовательность представляет собой 0,2,0,2,0,2,... .

Ясно, что члены этой последовательности остаются равными либо 0, либо 2 и не приближаются ни к какому пределу, т.е. не существует.



Вспомним уже знакомые из курса средней школы последовательности: арифметическую и геометрическую.

Арифметическая последовательность где

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Геометрическая последовательность

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 11; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты