Признак сравнения

Даны два ряда с положительными членами

(1),

(2),

причем известно, что члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2), т.е.

Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Пример 1. Ряд

с общим членом

сравним с гармоническим расходящимся рядом

Его общий член

(u₁=v₁; u₂>v₂; u₃>v₃; …)

По признаку сравнения ряд расходится.

Пример 2. Ряд с общим членом сравним с рядом общий член которого

Ряд является остатком гармонического ряда и расходится.

По признаку сравнения расходится ряд

Пример 3. Ряд сходится, т. к. его члены не превосходят соответствующих членов ряда Но последний ряд сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем , точнее – ряд геометрической прогрессии с первым членом и . Его сумма Тогда сумма ряда равна

Пример 4. Сравним ряд с рядом геометрической прогрессии Легко видеть, что оба ряда сходятся.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует конечный предел то при р<1 ряд сходится, при p>1 ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Общий член ряда . Следующий за ним член ряда Найдем т. к. полученный предел 2>1, то ряд расходится.

Заметим, что для вычисления следует разделить числитель и знаменатель на n и учесть, что

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Здесь символ n! (читают: эн факториал) обозначает произведение n натуральных чисел от 1 до n, т. е.

Так

Вернемся к данному ряду

Здесь

Вычислим

Т.к. полученный предел 0<1, то ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Здесь

Для вычисления предела числитель и знаменатель следует разделить на и учесть, что при

Т.к. полученный предел равен 1, то признак Даламбера вопроса о сходимости ряда не решает.

Применим признак сравнения и сравним ряд с рядом

— гармонический ряд без первого члена (остаток гармонического расходящегося ряда). Итак, ряд расходится, а т.к. то и данный ряд расходится.