![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение. Сходящийся знакопеременный ряд называется абсолютносходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. В рассмотренном примере ряд Определение. Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Например, ряд Итак, ряд Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие. В абсолютно сходящемся ряде можно переставлять местами члены ряда, т.е. в результате перестановки членов получим ряд, сумма которого не меняется. В условно сходящемся ряде от перестановки членов ряда меняется его сумма. Более того, в условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что полученный ряд окажется расходящимся. Пример 2. Пусть
Переставим его члены так, чтобы после одного положительного члена шло два отрицательных. Получим ряд:
Мы получили исходный ряд, умноженный на В этом же ряде
переставим его члены иначе. Для начала запишем ряд (5) в виде
В ряде (6) первый член оказался на втором месте, второй – на четвертом и т.д. Умножим равенство (6) на
Сложим почленно два сходящихся ряда (5) и (7), получим новый ряд
Ряд (8) получен из ряда (5) перестановкой его членов: второй член оказался на третьем месте, третий – на втором, четвертый – на шестом и т.д. , а сумма ряда (8) уже равна Таким образом, из одного и того же условно сходящегося ряда с суммой Этот вывод, который на первый взгляд кажется парадоксальным, говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых. Еще в ХVIII веке математики часто упускали из виду это обстоятельство и приходили к неверным результатам. Строгая теория бесконечных рядов была разработана в ХIХ веке после того, как весь математический анализ был перестроен на базе теории пределов.
|