Степенные ряды

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды, т.е. ряды вида

где действительные числа. Степенные ряды построены как обобщение понятия многочлена. Они имеют наиболее простую структуру, и их свойства значительно проще, чем свойства произвольных функциональных рядов. Приведем без доказательства наиболее важные теоремы о степенных рядах.

Теорема 1. Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Заметим, что степенный ряд может сходиться только в одной точке (пример 7 п. 6.8); возможно также, что степенный ряд сходится на интервале т.е. при любом (пример 8 п.6.8). Во всех остальных случаях существует такое число R>0, что степенной ряд сходится в интервале (-R,R) и расходится вне этого интервала, т.е. при и В точках и степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Ряд, рассмотренный в примере 1 п. 6.8, сходиться на интервале (-1,1), т.е. для всех удовлетворяющих неравенству

Ряд в примере 3 п. 6.8 сходится на интервале т.е. для всех удовлетворяющих неравенству

Ряд в примере 6 п. 6.8 сходится для .

Теорема 2. Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать.

Следовательно, если степенной ряд сходится на интервале и его сумма, т.е. для

то при выполняется равенство

Пример 1. Воспользуемся полученным в примере 1 п. 6.8 равенством

для

Продифференцируем обе части этого равенства для любого указанного

Для

Мы получили разложение в степенной ряд функции имея разложение для функции

Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке внутри интервала сходимости.

Это значит, что при из равенства

для следует равенство

Пример 2. Имеем для

Интегрируя на , получим

Пусть где любое число из указанного интервала (-1,1).

Для любого из (-1,1) мы получили

Т.к. в (-1,1) для любого существует ему противоположное число - заменим в последнем равенстве на

Умножив на –1 обе части, получим

С помощью полученного равенства – разложения в ряд функции - можно составить таблицу значений логарифма натурального с любой нужной нам степенью точности. Например, при

Если ограничиться четырьмя первыми слагаемыми, то мы вычислим с точностью до 0,01, т.к. 0,01.

Действительно, мы получим т.е. с точностью до (сравните: в четырехзначных таблицах).

Пример 3.Функциональный ряд сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем для (или , и его суммой является функция .

для

Проинтегрируем полученное равенство для из указанной области сходимости

Для из (-1,1)

мы получили разложение в ряд функции