Образец выполнения контрольного задания

Задача № 3. Среди данных последовательностей выделить арифметическую или геометрическую последовательности и для каждой из них написать формулу для суммы первых членов.

а) эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической.

б) эта последовательность является геометрической, т.к. каждый ее член получен умножением предыдущего на одно и то же число Первый член ее знаменатель Формула общего члена:

Формула суммы первых членов:

в) 1, 4, 7, 10, 13, … - арифметическая последовательность с первым членом и разностью

г) 49, 42, 35, 28, … — арифметическая прогрессия:

Задача № 4. Написать пять первых членов ряда и проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости.

a)

т.к.

Найдем

(мы разделили числитель и знаменатель на и учли, что при ). Т.к. необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд расходится.

б)

не существует, т.к. при неограниченном увеличении аргумента синус его меняется от –1 до 1 и от 1 до –1 и не стремится ни к какому пределу.

Т.к. то ряд расходится.

Задача № 5. Исследовать сходимость ряда

а)

Данный знакоположительный ряд сравним с рядом геометрической прогрессии со знаменателем который сходится.

Т.к. то ряд сходится

б) . Исследуем этот знакоположительный ряд по признаку Даламбера.

Вычислим

ряд расходится.

в) Рассмотрим вначале ряд и исследуем его по интегральному признаку Коши. В качестве функции выберем положительную функцию , для которой при при

при

Вычислим несобственный интеграл

Т.к. несобственный интеграл сходится, то сходится ряд

Сравним с ним данный ряд

Т.к. то данный ряд сходится.

Задача № 6. Выяснить, какой из данных рядов сходится абсолютно, какой

сходится условно, какой расходится.

а) знакочередующийся ряд, который представляет собой частный случай знакопеременного ряда. Исследуем ряд из абсолютных величин по признаку Даламбера.

Т.к. ряд из абсолютных величин сходится, то данный ряд

сходится абсолютно.

б) знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница сравним абсолютные величины членов ряда:

убывают. И предел общего члена . По признаку Лейбница ряд сходится.

Чтобы выяснить, как сходится этот ряд, исследуем ряд из абсолютных величин по интегральному признаку.

Выберем функцию определенную на множестве .

Несобственный интеграл

расходится, тогда и ряд из абсолютных величин расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

в) Для этого знакочередующегося ряда не выполняется условие

Действительно, Ряд расходится.

Задача № 7. Найти область сходимости ряда

Для любого степенной ряд

является

знакопеременным рядом.

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов и применим признак Даламбера

По признаку Даламбера для сходимости ряда требуется Это значит, степенной ряд сходится при Мы получили интервал сходимости (-1,1) данного ряда Остается выяснить, как ведет себя ряд на концах этого интервала.

Пусть Получим знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница он сходится, т.к.

убывают и

Поэтому входит в область сходимости ряда.

Пусть Получим знакоположительный ряд. Общий член этого ряда не меньше общего члена ряда расходится, как гармонический ряд, умноженный почленно на

Итак, область сходимости степенного ряда , т.е. ряд сходится для

Задача № 8. Вычислить значение функции с указанной точностью,

использовав ряд Тейлора для этой функции.

С точностью 0,0001 вычислить Число можно рассматривать как значение функции при Ряд Тейлора для нее:

При получим

В полученном знакочередующемся ряде точность вычисления оценивается по первому отброшенному члену:

что и требовалось.

Итак, с точностью до 0,00001.

Задача № 9. Вычислить с указанной точностью.

Вычислить с точностью до 0,001.

Можно воспользоваться полученным в примере № 3 § 9 разложением функции в ряд Тейлора. Покажем еще раз, как можно получить разложение в ряд Тейлора интеграла

1. Запишем ряд геометрической прогрессии

для

Здесь .

2. Подставим в этот ряд вместо Получим разложение для функции

для

3. Проинтегрируем последний ряд на интервале где

или

для

4. Разделим обе части полученного равенства на

а при вспомним, что

для

5. Наконец, проинтегрировав на , получим для

6. При =

= с точностью до 0,001, т.к.