![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Настоящие учебно-методические материалы (тема 7) предназначены в помощь студентам для самостоятельного изучения дифференциального исчисления функции нескольких переменных и приложений. Во многом дифференциальное исчисление функции нескольких переменных аналогично соответствующим разделам для функции одной переменной (тема 3). Разумеется, есть и отличительные особенности, которые при внимательном изучении легко обнаруживаются. Изучение теории экстремумов необходимо для решения многих экономических задач, особенно в планировании производства: это экстремальные задачи на отыскание наиболее выгодного варианта, задачи нахождения наибольшего или наименьшего значения функции, зависящей от большого числа переменных. В теме 7 дано изложение теории дифференциального исчисления функции двух переменных, снабжённое большим числом подробно разобранных примеров. Рассмотрены задачи геометрических и физических приложений. Поскольку решение задач дифференциального исчисления функции двух переменных основывается на знании практически всего рассмотренного математического курса, предлагается заключительное экзаменационное задание.
Функции нескольких переменных. Основные понятия
До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением величины, значения которой зависят от значений одной независимой переменной. На практике приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга физических и геометрических величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведём несколько примеров. Площадь S прямоугольника зависит от значений его длины x и ширины y и выражается формулой Объём V конуса есть функция его высоты h и радиуса r и выражается формулой Объём V прямоугольного параллелепипеда с рёбрами, длины которых равны x, y, z, выражается формулой Начнём с простейшего случая, когда дана функция двух независимых переменных. Почти все понятия, касающиеся функции двух переменных, являются обобщениями соответствующих понятий для функции одного переменного. Определение. Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре (x,y) из некоторого множества по определённому закону поставлено в соответствие значение переменной z. При этом переменные x и y называются независимыми переменными или аргументами, а переменная z – зависимой переменной или функцией. Записывают: Определение. Множество пар чисел (х,у), для которых определена функция z, называется областью определения этой функции. Так как каждой паре (х,у) из области определения функции z на плоскости соответствует точка М(х,у), то функцию Пусть функции Множество всех таких точек Р(х,у,z) пространства называется графиком функции Простейшую поверхность – плоскость, которая задаётся уравнением Рассмотрим несколько примеров № 1. № 2. № 3.
Получаем множество точек прямоугольника со сторонами х=1; х= –1; у=2; у= –2 (рис. 2). № 4.
№ 5. № 6. Неравенство Неравенство см. рис. 5.
Если точка М0(х0,у0) лежит в области определения функции Например, для функции
Перейдём теперь к понятию предела функции двух переменных. Рассмотрим последовательность точек Определение. Если для любой последовательности точек Так например, функция Следовательно, Определение. Если существует конечный Например, функция
|