Частные производные функции нескольких переменных

Пусть в некоторой области дана функция и точка М(х,у) – произвольная точка этой области. Дадим независимой переменной х приращение оставляя значение переменной у неизменным.

При этом функция z получит приращение

Оно называется частным приращением этой функции по переменной х и характеризует изменение функции при изменении только аргумента х. Отношение равно средней скорости изменения функции на участке от точки М(х,у) до точки

Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной х в точке (х,у).

Частную производную по х от функции обозначают следующими символами:

Таким образом,

Этот предел характеризует скорость изменения функции по х в точке М(х,у). Таков физический смысл частной производной.

Легко видеть полную аналогию с определением производной для функции одной переменной и её физическим смыслом.

Аналогично, считая х неизменной и давая переменной у приращение получим частное приращение функции по у:

Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной у в точке (х,у).

Частная производная по у обозначается одним из символов:

Таким образом,

Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции в точке М(х,у).

Значения частных производных и зависят от координат х, у рассматриваемой точки М, т.е. в свою очередь являются функциями двух переменных.

Вычисление частных производных по х (или по у) от конкретных функций производится по известным для функции одной переменной правилам. А именно, для вычисления частной производной по х следует считать у постоянной величиной и пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования. Для вычисления частной производной по у следует считать х постоянной величиной и только у – независимой переменной.

Например, для функции полагая у постоянной, получим полагая х постоянной, получим В частности, значение найденных частных производных в точке М₀(-1,2):

Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл.

Вспомним вначале определение и геометрический смысл производной функции одной переменной. Для функции производной в точке х называется Графиком функции является некоторая линия на плоскости. Значение производной в точке х₀ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в точке, где х=х₀, т.е.

По определению частная производная функции двух переменных по х

Геометрически уравнение задает в пространстве некоторую поверхность. При вычислении частной производной этой функции по х в точке М₀(х₀,y₀) мы полагаем y=y₀. В сечении поверхности плоскостью получаем линию, которая проходит через точку поверхности (для неё ). Значение частной производной по равно тангенсу угла, который касательная к полученной линии в точке образует с осью Ох (или с прямой, ей параллельной).

Для функции трёх переменных определение частных производных даётся также, как и для функции двух переменных:

Рассмотрим несколько примеров.

При отыскании полагаем z и y постоянными и применяем формулу

Аналогично,

При отыскании полагаем x и у постоянными, тогда - степенная функция и

(Здесь множитель выносится как постоянный).

Мы рассматривали частные приращения функции полученные ею в результате изменения только одной независимой переменной. Если изменяются обе переменные, то полученное приращение функции называется полным приращением и обозначается т.е.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде:

где — бесконечно малые при и При этом слагаемое называется полным дифференциалом функции в точке М(х,у) и является главной частью полного приращения. На самом деле, при и полный дифференциал функции отличается от её полного приращения на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем и

Полный дифференциал функции обозначают символом или следовательно, формула полного дифференциала:

или

где

В задачах приближенного вычисления часто полное приращение функции заменяют её полным дифференциалом, т.е. полагают И это приближенное равенство тем точнее, чем меньше приращения и независимых переменных.

По аналогии для функции формула полного дифференциала имеет вид:

№ 3. Найти полный дифференциал функции

Формула полного дифференциала

Найдём частные производные:

№ 4. Вычислить значение полного дифференциала функции в точке (1,3) при заданных приращениях

Используем формулу и найдём частные производные:

Вычислим их значения при х=1, у=3.

Подставим в формулу полного дифференциала и получим его значение:

№ 5. Найти формулу полного дифференциала функции

Найдём частные производные по всем трём независимым переменным:

и подставим в формулу:

Получим