Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Частные производные функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. III. Вегетативные функции НС.
  3. III. Функции полномочного представителя
  4. Some, any и их производные
  5. SQL-функции
  6. А) Алифатические производные
  7. Аббревиатуры и производные от них слова
  8. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  9. Авторское право на служебные, производные, составные и аудиовизуальные произведения
  10. Анатомия ствола головного мозга (структуры и функции).

 

Пусть в некоторой области дана функция и точка М(х,у) – произвольная точка этой области. Дадим независимой переменной х приращение оставляя значение переменной у неизменным.

При этом функция z получит приращение

Оно называется частным приращением этой функции по переменной х и характеризует изменение функции при изменении только аргумента х. Отношение равно средней скорости изменения функции на участке от точки М(х,у) до точки

Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной х в точке (х,у).

Частную производную по х от функции обозначают следующими символами:

 

Таким образом,

Этот предел характеризует скорость изменения функции по х в точке М(х,у). Таков физический смысл частной производной.

Легко видеть полную аналогию с определением производной для функции одной переменной и её физическим смыслом.

Аналогично, считая х неизменной и давая переменной у приращение получим частное приращение функции по у:

Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной у в точке (х,у).

Частная производная по у обозначается одним из символов:

Таким образом,

Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции в точке М(х,у).

Значения частных производных и зависят от координат х, у рассматриваемой точки М, т.е. в свою очередь являются функциями двух переменных.

Вычисление частных производных по х (или по у) от конкретных функций производится по известным для функции одной переменной правилам. А именно, для вычисления частной производной по х следует считать у постоянной величиной и пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования. Для вычисления частной производной по у следует считать х постоянной величиной и только у – независимой переменной.

Например, для функции полагая у постоянной, получим полагая х постоянной, получим В частности, значение найденных частных производных в точке М0(-1,2):

Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл.

Вспомним вначале определение и геометрический смысл производной функции одной переменной. Для функции производной в точке х называется Графиком функции является некоторая линия на плоскости. Значение производной в точке х0 равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в точке, где х=х0, т.е.

у     у=f(x)   y0 М0   a 0 x0 х  
Точка М000) – точка касания,



По определению частная производная функции двух переменных по х

Геометрически уравнение задает в пространстве некоторую поверхность. При вычислении частной производной этой функции по х в точке М00,y0) мы полагаем y=y0. В сечении поверхности плоскостью получаем линию, которая проходит через точку поверхности (для неё ). Значение частной производной по равно тангенсу угла, который касательная к полученной линии в точке образует с осью Ох (или с прямой, ей параллельной).


Для функции трёх переменных определение частных производных даётся также, как и для функции двух переменных:

Рассмотрим несколько примеров.

При отыскании полагаем z и y постоянными и применяем формулу

Аналогично,

При отыскании полагаем x и у постоянными, тогда - степенная функция и



(Здесь множитель выносится как постоянный).

Мы рассматривали частные приращения функции полученные ею в результате изменения только одной независимой переменной. Если изменяются обе переменные, то полученное приращение функции называется полным приращением и обозначается т.е.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде:

где — бесконечно малые при и При этом слагаемое называется полным дифференциалом функции в точке М(х,у) и является главной частью полного приращения. На самом деле, при и полный дифференциал функции отличается от её полного приращения на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем и

Полный дифференциал функции обозначают символом или следовательно, формула полного дифференциала:

или

где

В задачах приближенного вычисления часто полное приращение функции заменяют её полным дифференциалом, т.е. полагают И это приближенное равенство тем точнее, чем меньше приращения и независимых переменных.

По аналогии для функции формула полного дифференциала имеет вид:

№ 3. Найти полный дифференциал функции

Формула полного дифференциала

Найдём частные производные:

№ 4. Вычислить значение полного дифференциала функции в точке (1,3) при заданных приращениях

Используем формулу и найдём частные производные:

Вычислим их значения при х=1, у=3.

Подставим в формулу полного дифференциала и получим его значение:

№ 5. Найти формулу полного дифференциала функции

Найдём частные производные по всем трём независимым переменным:

и подставим в формулу:

Получим

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 241; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ | Производная по направлению. Градиент
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты