Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в некоторой области, включающей точку М(х,у). Перейдём из точки М(х,у) в точку М₁(х₁,у₁), перемещаясь по заданному направлению Будем считать, что вектор образует с осями координат Ох и Оу углы a и b тогда вектор смещения ММ₁ совпадает с вектором Функция получит при этом полное приращение Отношение полного приращения функции к длине вектора смещения равно средней скорости изменения функции.

Определение. Предел отношения при стремлении точки M₁ к точке М, если он существует и конечен, называется производной функции в точке М(х,у) по направлению вектора

Обозначают производную по направлению Так как отношение равно средней скорости изменения функции на участке ММ₁, то его предел при естественно принять за истинную скорость изменения функции z в точке М в направлении вектора Таков физический смысл производной по направлению.

Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то её полное приращение в этой точке

Запишем полное приращение в виде

тогда где и - бесконечно малые при Переходя к пределу при получили и

Формула для производной по направлению принимает вид:

Легко видеть, что если направление совпадает с направлением оси Ох, то и производная по направлению оси Ох совпадает с частной производной по переменной х: Аналогично, производная по направлению оси Оу совпадает с частной производной Таким образом, частные производные по переменным х и у являются частным случаем более общего понятия производной по направлению.

Если рассмотреть функцию трёх переменных и направление образующее с осями координат углы соответственно, то производная функции u в точке М(x,y,z) вычисляется по формуле

Рассмотрим примеры.

№ 1. Вычислить производную функции в точке А(1,2) по направлению вектора где точка В(4,-2).

Так как формула производной по направлению то найдём и - координаты единичного вектора направления

Его координаты найдём, зная координаты конца В(4,-2) и начала А(1,2) этого вектора: Длина вектора Тогда

Найдём частные производные данной функции и и вычислим их значение в точке А(1,2). Искомая производная по направлению в точке А(1,2) имеет значение:

№ 2. Найти производную функции по направлению вектора в точках и

Запишем формулу для производной функции трёх переменных по направлению

Найдём направляющие косинусы вектора или координаты его единичного вектора. Для этого разделим координаты вектора на его длину

Получим Найдём частные производные данной функции

В любой точке М(x,y,z) формула производной по направлению имеет вид:

Подставляя координаты точек А(0,-2,-1) и В(3,3,5), получим значения производной по направлению:

Рассмотрим далее очень важное для приложений понятие градиента функции.

Определение. Вектор с координатами и вычисленными в точке М(x,y), называется градиентом функции в этой точке и обозначается grad z или grad f(x,y).

По определению этот вектор или где - базисные векторы координатных осей Ох и Оу соответственно. Напомним, что любой вектор плоскости можно разложить по базисным векторам зная координаты этого вектора:

И если даны два вектора и то их скалярное произведение

Формула производной по направлению где и - направляющие косинусы направления или координаты его единичного вектора. Обозначив через этот единичный вектор запишем его разложение по базису

Градиент функции z в точке (х,у)

Вычислим скалярное произведение этих двух векторов Производная по направлению в точке равна скалярному произведению градиента в этой точке и единичного вектора этого направления.

А так как по определению скалярного произведения то поскольку Здесь - угол между направлением и градиентом. Принимая во внимание, что самое большое значение косинуса при можно утверждать, что производная по направлению будет наибольшей, когда направление совпадает с направлением градиента. Итак, доказано важное физическое толкование полученного свойства:

градиент функции в точке указывает направление наибольшей скорости изменения функции в этой точке.

Легко видеть, что эта наибольшая скорость изменения функции равна модулю градиента (ведь ).

Обобщим понятие градиента для функции трёх переменных:

Здесь - базис в пространстве, частные производные функции должны быть вычислены в точке М(x,y,z).

№ 3. Найти и построить градиент функции в точке A(-1,0).

;

Искомый вектор

Построим его в данной точке A(-1,0).

Рассмотрим геометрическую задачу с использованием дифференциального исчисления функции двух переменных. Это задача о составлении уравнения касательной плоскости к поверхности. Прежде всего – понятие касательной плоскости.

Пусть дана поверхность уравнением где функция дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀). Будем называть касательной плоскостью к поверхности в точке Р плоскость, которая имеет с поверхностью единственную общую точку, а именно – точку Р.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:

.

Сравним уравнение касательной плоскости к поверхности с уравнением касательной к плоской линии в точке, где Это уравнение рассматривается и в курсе средней школы, и в курсе высшей математики (часть № 3) и имеет вид:

где

Аналогия очевидна. В случае функции двух переменных, при помощи которой задано уравнение поверхности, уравнение касательной плоскости содержит похожие слагаемые, которых теперь два: это произведение значения частной производной на разность между х и х₀ (или между у и у₀).

Рассмотрим пример № 4.

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке, где

Найдём

Подставим полученные значения в уравнение

Уравнение искомой касательной плоскости:

или

Пример № 5. К поверхности провести касательную плоскость, параллельную плоскости

В этом случае нам не даны координаты точки касания, поэтому используем условие параллельности двух плоскостей (часть 2).

Пусть и

уравнения двух параллельных плоскостей. Тогда их нормальные векторы и тоже параллельны, то есть - условие параллельности плоскости. В нашем примере дана плоскость уравнением Вторая плоскость – касательная плоскость с уравнением или

Условие их параллельности

Отсюда

Т.к. уравнение поверхности то

и Получим Из уравнения поверхности

Искомое уравнение или