Как выполнить экзаменационное задание

Экзаменационное задание предполагает использование большинства разделов, изложенных в темах 1 - 7 учебно-методических материалов, а именно:

решение систем уравнений;

вектор, направляющие косинусы, длина вектора, угол между векторами, операции над векторами;

уравнение прямой на плоскости;

построение графика функции;

кривые второго порядка и их уравнения;

уравнение плоскости в пространстве;

формулы и правила дифференцирования функции одной переменной;

исследование на экстремум;

дифференциальное исчисление функции двух переменных, приложения.

Все эти вопросы можно найти в любом стандартном учебнике по математическому анализу и линейной алгебре для студентов вузов. Список нужной литературы прилагается в темах 1 - 7 учебно-методических материалов.

В экзаменационном задании предлагается функция двух переменных для которой нужно провести исследование на экстремум, найти наибольшее и наименьшее её значения в замкнутой области, решить несколько прикладных геометрических и физических задач. Каждая конкретная задача проанализирована и подробно решена в тексте (номер примера и номер параграфа указан). Тем не менее, ниже приведён пример выполнения одного экзаменационного задания.

1. Исследовать на экстремум функцию

Данная функция определена при всех и

Найдём критические точки функции, для чего используем необходимые условия существования экстремума:

Решим систему: или

Из первого уравнения: или и имеем четыре корня и Принимая во внимание второе уравнение системы получим Р₁(2,1), Р₂(-2,-1), Р₃(1,2), Р₄(-1,-2) — четыре критические точки.

Чтобы установить, в какой из них существует экстремум, используем достаточные условия. Составим выражение и вычислим его в каждой критической точке.

Вычислим значение в каждой точке. т.е. в точке Р₁(2,1) есть экстремум, а т.к. то точка Р₁(2,1) – точка минимума.

и точка Р₂(-2,-1) – точка максимума.

т.е. в точке Р₃(1,2) – нет экстремума.

т.е. в точке Р₄(-1,-2) нет экстремума.

Остаётся вычислить минимальное и максимальное значения функции:

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, которая представляет собой четырёхугольник с вершинами О(0,0), А(3,1), С(3,3), В (0,-2).

Построим данные точки и составим уравнения сторон четырёхугольника.

Прямая АС имеет уравнение: х=3.

Прямая ОС имеет уравнение: у=х.

Уравнение прямой АВ получим как уравнение прямой, проходящей через две точки (х₁,у₁) и (х₂,у₂).

Пусть

Отсюда или

Ранее были получены четыре критических точки этой функции: Р₁(2,1), Р₂(-2,-1), Р₃(1,2), Р₄(-1,-2), из которых только одна точка Р₁(2,1) принадлежит данной области. (Кстати, ОВАС - параллелограмм). Значение функции в точке Р₁ Остальные не интересуют.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на границе данной области, которая состоит из четырёх отрезков разных прямых.

На ОС: у=х. Подставим в данную функцию выражение для у (у=х) и получим функцию только одной переменной х. Обозначим её или где

Найдём её производную и приравняем её к нулю: Получим две критические точки и из которых только принадлежит отрезку [0,3]. Так как у=х, то и мы получим точку значение в которой Значения функции на концах отрезка [0,3] и значения данной функции в точках (0,0) и (3,3) попарно совпадают, т.е.

На АС: х=3. Подставим в функцию х=3, получим функцию одной переменной у.

или

где

не принадлежит поэтому рассмотрим значения в точках и А так как то для данной функции получим значения в точках и

(это значение уже было вычислено).

На АВ: Подставив в функцию получим или

где

или Решим квадратное уравнение: и

Вычислим значение функции в точке Так как то

Значения на концах отрезка и совпадают со значениями функции в точках (0,-2) и (3,1).

(уже были получены).

На ОВ: получили функцию

где

Не может быть т.е. критических точек нет. Значения на концах отрезка уже получены.

Среди значений функции получены: -28; -27; 0; 27; -21; -26; 24.

Наименьшее значение функция в параллелограмме ОСАВ имеет в точке Р₁(2,1):

Наибольшее значение эта функция имеет в точке С(3,3):

3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке, где

Вычислим

Частные производные функции и

Их значения в точке (-2,-2):

Уравнение касательной плоскости:

или

4. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке М₁(0,2).

Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна модулю градиента её.

Найдём

Модуль этого вектора равен

Таким образом, наибольшая скорость возрастания функции в точке М₁(0,2) равна

5. Вычислить производную функции в точке М₁(0,2) в направлении вектора где точка М₂(1,1). Каков характер изменения функции в точке М₁?

Формула производной по направлению

Направление По координатам точек М₁(0,2) и М₂(1,1) найдём координаты вектора т.е. Длина этого вектора равна Разделив вектор на его длину получим и Вычислим значения Подставим в формулу производной по направлению:

Так как то скорость функции положительна, т.е. функция в точке М₁(0,2) по направлению вектора возрастает. Ранее была найдена наибольшая скорость функции, равная

Действительно,

6. Найти угол между градиентами функции в точках М₁(0,2) и М₂(1,1).

Найдём градиент в точке М₂(1,1).

Угол между векторами и найдём по формуле

В нашем случае

Искомый угол