![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ряд Тейлора
Аппарат степенных рядов играет в математическом анализе и в приложениях чрезвычайно важную роль. Рассмотрим возможность представления функции в виде степенного ряда. Пусть степенной ряд сходится в некотором интервале к функции
Покажем, что возможен единственный степенной ряд, сумма которого равна данной функции Полагая в равенстве (1) Продифференцируем равенство (1):
Полагая в равенстве (2)
Продифференцируем равенство (2):
Полагая в равенстве (3)
Затем аналогично,
Продолжая этот процесс
Итак, мы показали, что если функция и сам ряд имеет вид
Тем самым мы показали, что не может быть двух степенных рядов, представляющих одну и ту же функцию. Закономерен вопрос, какой должна быть функция Закономерен также вопрос и об области сходимости ряда (5) к данной функции. Может оказаться, что ряд (5) сходится не во всей области определения функции
Определение. Рядом Тейлора для функции
Ряд Тейлора можно составить для определения всякой функции Степенные ряды являются основным инструментом для изучения функций. Поэтому чрезвычайно важно знать, при каких условиях данная функция может быть суммой составленного для нее ряда Тейлора. Обозначим через А так как сумма ряда есть Таким образом доказана Теорема: Функция Для остатка
Итак, если
Для определения области сходимости ряда Тейлора к функции Заметим, что в формуле остатка
Покажем, что для любого действительного числа В примере 8 п.6.8 мы показали, что ряд Пример 1. Рассмотрим функцию
Пример 2.
Все производные четного порядка равны 0, производные нечетного порядка равны 1 или –1 (чередуясь). Ряд Тейлора для
Найдем область сходимости этого ряда к функции
Производная любого порядка функции Итак, для всех действительных Пример 3. Получим ряд Тейлора для функции
Итак, для всех действительных
Заметим, что два последних ряда (для Для простоты изложения был рассмотрен ряд Тейлора в окрестности
Отметим также, что большое приложение имеет разложение функций в тригонометрический ряд Фурье:
|