Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Функциональные ряды

Читайте также:
  1. III. Функциональные обязанности
  2. III. Функциональные обязанности
  3. Выбор целевой аудитории и функциональные цели
  4. ГЕНЕЗИС СОЗНАНИЯ И СТРУКТУРНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
  5. Глава 7. Функциональные области логистики
  6. ДИСФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТОЧНЫЕ КРОВОТЕЧЕНИЯ.
  7. И функциональные задачи.
  8. Навигационно-информационные системы ECDIS. Назначение, функциональные возможности, типы электронных карт.
  9. Объекты, методы, функциональные составляющие и основные элементы системы регионального управления.
  10. Операционная система MS Windows XP/Vista/7. Понятие, функциональные возможности. Интерфейс XP/Vista/7.

 

Определение. Функциональным рядом называется ряд

члены которого являются функциями от x.

Давая переменной х определенное числовое значение хо, мы получим числовой ряд

 

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение.Областью сходимости функционального ряда называется множество тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Понятно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим ее через

Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд

При любом значении он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом 1. Поскольку ряд геометрической прогрессии сходится при то данный ряд сходится при всех для которых Сумма этого ряда для

Итак, мы показали, что для всех

При всех других рассмотренный ряд расходится. Областью сходимости функционального ряда является интервал (-1,1).

Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд

При любом конкретном значении мы получим в общем случае знакопеременный ряд. Для исследования его сходимости рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов и сравним его с рядом

который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем

А т.к. то ряд сходится, но тогда сходится и данный ряд при любом . Следовательно, областью сходимости функционального ряда является интервал

 

Пример 3. Дан функциональный ряд

 

Найдем область сходимости этого ряда. При постоянном значении данный ряд может быть знакопеременным. Поэтому рассмотрим ряд из абсолютных величин и исследуем его по признаку Даламбера. .

 

По признаку Даламбера при ряд сходится, при ряд расходится. Поскольку ряд из абсолютных величин сходится при то и ряд сходится при Остается рассмотреть поведение ряда при т.е. при Это можно сделать непосредственной подстановкой и

 

При получим знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.

При получим . Этот ряд можно записать в виде Ясно, что он расходится как гармонический. Итак, областью сходимости ряда является интервал .

Пример 4. Найдем область сходимости функционального ряда

 

 

составленного из показательных функций. При любом х это ряд с положительными членами вида который сходится при и расходится при . Поэтому данный ряд сходится при х>1. Итак, областью сходимости ряда является интервал



Пример 5.Члены функционального ряда

 

при любом х не больше соответствующих членов сходящегося ряда

 

.

 

Поэтому при любом х ряд сходится, т. е. областью сходимости ряда является интервал .

Пример 6. Функциональный ряд

при любом представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем а поэтому сходится при

Областью сходимости ряда является интервал (-2,2).

Пример 7. Функциональный ряд

сходится только при его сумма равна 0 при

Действительно, применив признак Даламбера к ряду из абсолютных величин, получим

при любом т.е. при любом ряд расходится. Областью сходимости ряда является единственное число

Пример 8. Очень похож на рассмотренный функциональный ряд

Рассуждая аналогично примеру 7, получим

Т.е. ряд сходится при любом областью его сходимости является интервал

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 30; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение. Сходящийся знакопеременный ряд называется абсолютно | Степенные ряды
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты