Кері функцияның туындысы
y=f(x) функциясына кері функция (x=f - 1(y)) туындысы: .
11. Функцияның дифференциалы және жуықтап есептеуге қолдану. Мысалдар. Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.
Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.
Дифференциалды есептеу ережесі.Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,
1) , мұндағыс –сан.
2) ,
3) , егер .
4) Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:
, осыдан .
Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .
мысал. -ты жуықтап есепте. 
.
12. Лопиталь ережесі арқылы анықталмағандықты ашу.Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) және g(x) функциялары ( ) жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: .Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.
1. .
2.
3. .
Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х2 бөлімнің бөліміне түсірілді.
4. . Айталық деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейік:
|