Функцияның экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.Функция экстремумы

х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясыныңмаксимум нүктесідеп аталады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерінэкстремум нүктелерідеп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдарыдейді.

2-суретте y=f(x) функциясының максимум нүктелері x₁және x₃, ал минимум нүктелері x₂ және x₄ . Суреттен x₄ нүктедегі минимум x₁ нүктедегі максимумнан үлкен. Бұл функцияның экстремум ұғымы нүктенің қандай да бір - маңайында ғана анықталатындығымен түсіндіріледі. Сондықтан да, функция экстремуы дегеннің орнына көбіне функцияның локальді экстремумы дейді.

Анықтама.х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалсаЭкстремумның қажетті және жеткілікті шарты

Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х₀ нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0.Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀ нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х₀ нүкте функцияның максимум нүктесі болады;

2) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х₀ нүкте функцияның минимум нүктесі болады;

3) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х₀ нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.

Жоғары кестеде қарастырылған функцияларды осы жеткілікті шарт бойынша зерттесек. х аргумент нүкте арқылы өткен кездегі таңбасын анықтасақ, мынадай толықтыру аламыз:

Туынды таңбасы
:“+” “-” х0=0	: “+” “+” х0=0	: “-” “+” х0=0	: “+” “+” х0=0
х0=0 - максимум нүктесі	Экстремум жоқ	х0=0 - минимум нүктесі	Экстремум жоқ

Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда

1) егер болса, онда х₀ нүкте f(x) функциясының максимум нүктесі болады;

2) егер болса, онда х₀ нүкте f(x) функциясының минимум нүктесі болады.