Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Функцияның экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.Функция экстремумы




х0 нүктесінің - маңайы табылып, (х0- х0+ ), осы маңайдағы барлық х х0 үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х0) теңсіздік орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясыныңмаксимум нүктесідеп аталады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерінэкстремум нүктелерідеп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдарыдейді.

2-суретте y=f(x) функциясының максимум нүктелері x1және x3, ал минимум нүктелері x2 және x4 . Суреттен x4 нүктедегі минимум x1 нүктедегі максимумнан үлкен. Бұл функцияның экстремум ұғымы нүктенің қандай да бір - маңайында ғана анықталатындығымен түсіндіріледі. Сондықтан да, функция экстремуы дегеннің орнына көбіне функцияның локальді экстремумы дейді.

н   н=а(ч)   ф ч1 ч2 ч3 ч4 и ч   2-сурет

Анықтама.х0 нүктесінің - маңайы табылып, (х0- х0+ ), осы маңайдағы барлық х х0 үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалсаЭкстремумның қажетті және жеткілікті шарты

Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х0 нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0.Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х0 нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның максимум нүктесі болады;

2) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның минимум нүктесі болады;

3) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х0 нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.

Жоғары кестеде қарастырылған функцияларды осы жеткілікті шарт бойынша зерттесек. х аргумент нүкте арқылы өткен кездегі таңбасын анықтасақ, мынадай толықтыру аламыз:

Туынды таңбасы
:“+” “-” х0=0 : “+” “+” х0=0 : “-” “+” х0=0 : “+” “+” х0=0
х0=0 - максимум нүктесі   Экстремум жоқ х0=0 - минимум нүктесі   Экстремум жоқ

Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда

1) егер болса, онда х0 нүкте f(x) функциясының максимум нүктесі болады;

2) егер болса, онда х0 нүкте f(x) функциясының минимум нүктесі болады.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 762; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты