Исследование операций. Линейное программирование.

Найти максимум и минимум линейного функционала Y (`x)= -x₁ + 3x₂ при условиях

Y=4X1+6X2

9x₁- 2x₂ ³ 0 9x₁- 2x₂ = 0 (1)

x₁ + x₂ £ 8 уравнения x₁ + x₂ = 8 (2)

-x₁ + 3x₂ ³ -6 границ -x₁ + 3x₂ = -6 (3)

5x₁ + 3x₂ ³ 15 множества 5x₁ + 3x₂ = 15 (4)

x₁ ³ 0; x₂ ³ 0 x₁ = 0; x₂ = 0

Исходное положение функционала

Y=0

-x₁ + 3x₂ = 0

3x₂ = x₁ ; x₂ = 1/3 x₁

При x₁ = 3 x₂ = 1

(1)x₂= 4,5x₁; (3)x₁ =0; x₂ =-2

x₁ =1; x₂ =4,5 x₁ =6; x₂ =0

x₁ =2; x₂ =9 x₂ =1/3x₁ –2

гиперплоскость гиперплоскость сверху

снизу

(2)x₁ =0; x₂ =8 (4)x₁ =0; x₂ =5

x₁ =8; x₂ =0 x₁ =3; x₂ =0

x₁=0; x₂ =0 x₁ =0; x₂ =0

гиперплоскость гиперплоскость сверху

снизу

Для поиска в множестве экстремальных значений необходимо исходный функционал Y=0 подвергнуть аффинному преобразованию, что в системе координат соответствует пропорциональному изменению координат по всем осям (примечание: так натуральная фигура превращается в её модель и наоборот). В нашем двумерном случае (x₁ и x₂) соответствует параллельному переносу линии Y=0 до крайней верхней точки С (это максимум и до крайних нижних точек линии ED (это минимум). Примечание: координаты любой точки линии ED равноценны, так как ED║Z(0).

1) Вычислим Zmax, для чего:

а) определим координаты точки С, как пересечение прямых (1) и (2)

=

=

=

Проверка: 9·1,45-2·6,54=13,08-13,08=0

Zmax = -1,45+3·6,54 = 18,17

2)Вычислить Zmin, для чего:

а) определим координаты точки D, как пересечение прямых (2) и (3)

=

=

=

Проверка: 7,5+0,5=8

Б) Проконтролируем , подставив координаты т. E(6;0)

Таким образом, оптимальный план задачи:

1) =18,17 при =(1,45;6,54)

2) =-6 при =[ ]