Концепция предельной ставки замещения

С понятием «линии уровня критерия» связано важное в теории риска понятие предельной ставки замещения — МRS (Marginal Rate of Substitution), которое вводится следующим образом. Пусть:

• ƒ(m, σ_m) — критериальная функция критерия МVС в пространстве «Доход — Риск», характеризующая отношение ЛПР к риску при конкретном значении его начального капитала;

• ƒ(m, σ_m) = Const — равенства, определяющие семейство линий уровня в указанном пространстве для конкретного ЛПР (соответственно, при различных значениях константы Const = К).

Определение. Предельной ставкой замещения применительно к конкретному ЛПР называют показатель MRS, определяемый равенством:

MRS = ƒ₁ / ƒ₂ где: ƒ₁ = ∂ƒ/∂m ƒ₂ = ∂ƒ/∂σ_m

Экономическая интерпретация

Показатель МRS для конкретного ЛПР показывает, насколько должна увеличиться величина среднего ожидаемого конечного результата σ_m этого ЛПР применительно к анализируемому рисковому предложению-сделке, чтобы компенсировать для ЛПР увеличение риска (риска отклонения соответствующего конечного результата) аш на одну единицу, оставляя неизменным показатель критерия ƒ(m, σ_m)

Графическая интерпретация представлена на рисунке для «осторожного к риску» ЛПР.

19. Экономическая интерпретация. Решения в пространстве «Доходность - Риск».

Критерии предполагается применять к нормальному распределению вероятностей. Оно, действительно, широко используется при анализе рисков финансовых операций, т.к. его важнейшие свойства (симметричность распределения относительно средней, ничтожная вероятность больших отклонений случайной величины от центра ее распределения, правило трех сигм) позволяет существенно упростить анализ. Однако не все финансовые операции предполагают нормальное распределение доходов (вопросы выбора распределения рассмотрены более подробно чуть ниже) Например, распределения вероятностей получения доходов от операций с производными финансовыми инструментами (опционами и фьючерсами) часто характеризуется асимметрией (скосом) относительно математического ожидания случайной величины (рис. 1).

Так, например, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владельцу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной, т.е. по сути, опцион отсекает распределение доходности в точке, где начинаются потери.

Рис.1 График плотности распределения вероятности с правой (положительной) асимметрией

В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (средней и стандартного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стандартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных распределениях, т.к. игнорируется, что большая часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую) или «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности. Поэтому при анализе асимметричных распределений используют дополнительный параметр – коэффициент асимметрии (скоса). Он представляет собой нормированную величину третьего центрального момента и определяется по формуле (13):

.

Экономический смысл коэффициента асимметрии в данном контексте заключается в следующем. Если коэффициент имеет положительное значение (положительный скос), то самые высокие доходы (правый «хвост») считаются более вероятными, чем низкие и наоборот.

Коэффициент асимметрии может также использоваться для приблизительной проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины. Его значение в этом случае должно быть равно 0.

В ряде случаев смещенное вправо распределение можно свети к нормальному прибавлением 1 к ожидаемой величине доходности и последующим вычислением натурального логарифма полученного значения. Такое распределение называют логнормальным. Оно используется в финансовом анализе наряду с нормальным.

Некоторые симметричные распределения могут характеризоваться четвертым нормированным центральным моментом – эксцессом (е):

Если значение эксцесса больше 0, кривая распределения более остроконечна, чем нормальная кривая и наоборот.

Экономический смысл эксцесса заключается в следующем. Если две операции имеют симметричные распределения доходов и одинаковые средние, менее рискованной считается инвестиция с большим эксцессом.

Для нормального распределения эксцесс равен 0.